12.6. Спектральная структура нестационарного процесса

Здесь будут рассмотрены два различных теоретических подхода к описанию спектральной структуры нестационарного процесса. Каждый из них приводит к вполне определенным соотношениям и свойствам, которые могут оказаться более или менее полезными в зависимости от рассматриваемой задачи. Этим подходам отвечают два типа спектров:

а) двойные по частоте (обобщенные) спектры;

б) частотно-временные (мгновенные) спектры.

Двойные по частоте (обобщенные) спектры рассматриваются в разд. 12.6.1 и 12.6.2. Частотно-временные (мгновенные) спектры, называемые также распределением Вигнера, обсуждаются довольно детально в разд. 12.6.3. Физическая интерпретация частотно-временных спектров дается в разд. 12.6.4 на примере мультипликативного нестационарного процесса.

12.6.1. ДВОЙНЫЕ ПО ЧАСТОТЕ СПЕКТРАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Пусть реализациям стационарных случайных процессов и отвечают финитные преобразования Фурье

т. e. предполагается, что вне интервала реализации обращаются в нуль. Для простоты обозначений зависимость от в дальнейшем опускается:

Кроме того, в приводимых далее интегралах вида (12.75) будут опущены пределы интегрирования.

Функции спектральной плотности для любых двух фиксированных частот определяются математическими ожиданиями

где величины, комплексно-сопряженные с Величины называются двойными по частоте (обобщенными) функциями спектральной плотности, двойной по частоте (обобщенной) взаимной спектральной плотностью. Заметим, что эти функции комплексные, могут принимать любые значения в интервале

Рассуждая примерно таким же образом, как и в разд. 5.2.4, можно показать, что при любых значения верхняя граница этой двойной по частоте функции взаимной спектральной плотности определяется неравенством для взаимных спектров

Из исходных определений следует, что

Из формул (12.77) и (12.80) следует, что есть действительная, положительная и четная функция частоты

Согласно соотношению (12.75), имеем

Применяя к обеим частям этого равенства оператор математического ожидания, получаем

Следовательно, функция не совпадает с двойным преобразованием Фурье функции имеющим вид

Напротив, она получается обратным преобразованием Фурье функции по переменной а затем прямым преобразованием результата по переменной Замена на в определении (12.83) показывает, каким образом можно получить по

Пара обратных преобразований Фурье, отвечающих равенствам (12.75), имеет вид

причем пределы интегрирования здесь бесконечны. Поскольку действительная функция, можно написать также

Из формул (12.85) и (12.86) следует, что

Применяя к обеим частям этого равенства оператор математического ожидания, получаем

что не совпадает с двойным обратным преобразованием Фурье функции имеющим вид

Напротив, функция получается прямым преобразованием Фурье по переменной а затем обратным преобразованием результата по переменной Замена на в определении (12.88) показывает, каким образом можно получить по

12.6.2. ДРУГОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДВОЙНОЙ ПО ЧАСТОТЕ СПЕКТРАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ

Двойную по частоте спектральную функцию можно определить и иначе — с помощью описанных ниже преобразований. Пусть

Тогда

Двойной по частоте взаимный спектр можно записать теперь в виде

Символ использован здесь вместо для функции, заданной на плоскости с координатами а не Для двойных по частоте автоспектров имеем

Заметим, что в точке функции

представляют собой функции спектральной плотности энергии последовательностей и функцию взаимной спектральной плотности энергии, связывающую на частоте Поскольку

то есть четная функция частоты Кроме того,

так что — есть комплексно-сопряженное Для произвольных последовательностей и справедливы равенства

При отсюда получаются формулы (12.%) и (12.97).

Возвращаясь к равенству (12.75) и производя замену получаем

Аналогичным образом замена в формуле (12.85) дает

Поскольку

имеем

Умножая обе части последнего равенства на и интегрируя по получаем

Математическое ожидание обеих частей уравнения имеет вид

Частные случаи этого уравнения при показывают связь функций

Левая часть формулы (12.99) представляет собой преобразование Фурье функции по переменной при фиксированных Правая же часть есть обратное преобразование Фурье функции по переменной при фиксированных Каждая из этих операций приводит к функции, заданной в частотно-временной области:

Ее рассмотрению будет посвящен следующий раздел. Функцию ни в коем случае не следует смешивать с Из формулы (12.99) следует, что

Иными словами, есть двойное преобразование Фурье функции по переменным

В частном случае стационарного случайного процесса приведенные выше равенства связи характеристик нестационарных процессов упрощаются, так как заданные формулами (12.55) и (12.63) ковариационные функции, зависящие от двух аргументов, становятся функциями лишь одного аргумента:

При замене отсюда получаются и соответствующие частные случаи. Из соотношения (12.88) следует, что

(в правой части зависимость от входит в экспоненту). Для стационарного процесса имеем

где

Следовательно, в стационарном случае

где финитная дельта-функция:

Таким образом, если частоты различаются на то функция существует на плоскости только вдоль линии Поэтому

откуда следует, что

Эти выкладки показывают, что для получения устойчивых результатов функцию взаимной спектральной плотности стационарных случайных процессов следует определять в виде (12.110), как и было сделано ранее в формуле (5.59).

Обращаясь теперь к равенству (12.92) для двойного по частоте спектра, видим, что

где задана выражением (12.108). Это означает, что при шаге по частоте равном функция существует на плоскости только вдоль линии Таким образом, в случае стационарного процесса

Отсюда

что совпадает с функцией (12.110). Частный случай этого уравнения определяет спектральную плотность стационарного процесса:

ПРИМЕР 12.7. ДВОЙНОЙ ПО ЧАСТОТЕ АВТОСПЕКТР ПЕРИОДИЧЕСКОГО СИГНАЛА. Рассмотрим периодическую функцию где постоянные. Ее преобразование Фурье имеет вид

где обычная дельта-функция. Согласно формулам (12.77), имеем

Функция существует на плоскости только вдоль линий Соответствующий спектр имеет вид

Заметим, что существует на плоскости только вдоль линий .

ПРИМЕР 12.8. ДВОЙНОЙ ПО ЧАСТОТЕ СПЕКТР МОДУЛИРОВАННОГО СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА. Рассмотрим модулированный случайный процесс вида

где постоянная, а стационарный случайный процесс с нулевым средним значением. Согласно примеру 12.6, имеем

а из формулы (12.101) следует, что

Рис. 12.7. Пример двойного по частоте автоспектра: узкополосный случайный шум, модулированный косинусоидой.

Таким образом, функция существует на плоскости только вдоль трех линий: . Автоспектр оказывается смещенным на вдоль линии и остается прежним вдоль линий . На рис. 12.7 приведен график функции в положительной полуплоскости частот для случая, когда узкополосный шум.