12.6.4. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ МОДЕЛЬ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА

Рассмотрим нестационарный случайный процесс представляющий собой произведение детерминированного сигнала на стационарный

Рис. 12.8. Пример частично-временнбго спектра для модулированного по косинусоидальному закону узкополосного случайного шума.

чайный процесс

Такой простой нестационарный процесс, называемый обычно мультипликативным, служит приемлемым приближением для некоторых нестационарных явлений, в частности для атмосферной турбулентности и для турбулентных движений в пограничном слое [12.2, 12.3].

Из формулы (12.64) следует, что нестационарная ковариационная функция процесса заданного соотношением (12.150), имеет вид

где

При фиксированном двусторонний частотно-временной спектр определяется по формуле (12.117):

Введем функции

Поскольку есть произведение функций спектр представляет собой свертку функций

Это соотношение справедливо при произвольной функции

В тех частных случаях, когда функция из формулы (12.150) меняется заметно медленнее наиболее низкочастотных составляющих процесса равенство (12.151) можно заменить приближенным соотношением

При этом частотно-временной спектр принимает вид

где медленно изменяющаяся неотрицательная функция

Нестационарный случайный процесс, ковариационная функция и спектральная плотность которого могут быть аппроксимированы соответственно формулами (12.156) и (12.157), часто называют локально-стационарным или равномерно-модулированным случайным процессом [12.4]. Для таких процессов удобно пользоваться в выражении (12.156) нормированной функцией так что

Здесь односторонняя функция спектральной плотности, равная при и нулю при Отсюда получается односторонний зависящий от времени автоспектр

где

Если меняется существенно медленнее то

где средний по времени автоспектр, заданный формулами (12.140) и (12.145).

Из выражения (12.160) следует, что переменный во времени спектр локально-стационарного случайного процесса можно оценивать по одной реализации процесса двумя различными способами:

а) оценивая усреднением по коротким интервалам или при помощи другого подходящего приема для всего диапазона частот (см. разд. 12.4.3);

б) оценивая путем вычисления по всей реализации, т. е. при высокой разрешающей способности по частоте (как делается в стационарном случае).

Поскольку любой из этих приемов возможен при относительно большом значении произведения (эквивалентного числа усреднений), искомый нестационарный спектр оценивается с относительно небольшой случайной ошибкой даже при анализе по единичной реализации.

ПРИМЕР 12.11. ОЦЕНКА УСРЕДНЕННОГО ПО ВРЕМЕНИ СПЕКТРА. Рассмотрим вибрации космического корабля на старте при прохождении области максимального динамического давления где плотность воздуха, V — скорость воздушного потока). В этой фазе запуска вибрации создаются главным образом колебаниями давления в турбулентном пограничном слое, возникающем при движении корабля в атмосфере. Поскольку и скорость, и высота корабля меняются во времени, следует ожидать, что колебания давления в пограничном слое и, следовательно, вибрации

конструкций корабля образуют нестационарные случайные процессы. Допустим, что процесс, описывающий вибрации конструкций в любой точке, локально-стационарен. В таком случае зависящий от времени автоспектр вибраций можно оценить по одной реализации процесса усреднением по отдельным временным интервалам (рис. 12.9).

На рис. 12.9, а показана оценка функции полученная при усреднении по двухсекундным отрезкам -секундного интервала, отвечающего максимальному динамическому давлению. Заметим, что в течение этого интервала значение среднего квадрата меняется в четыре раза. На рис. 12.9, б представлена оценка спектра полученная усреднением по всему -секундному интервалу. Если гипотеза локальной стационарности этого процесса верна, то показанная на рис. 12.9 оценка переменного во времени спектра вполне приемлема. Значение произведения для каждой части этой оценки заметно превышает 200, а разрешение по времени и частоте вполне достаточно для того, чтобы избежать больших ошибок смещения.

Пригодность гипотезы локальной стационарности в этой задаче можно проверить, сопоставляя независимые оценки функции полученные усреднением по пятисекундным отрезкам полного -секундного интервала записи. Соответствующие результаты представлены на рис. 12.10. Имея в виду, что для каждой из этих оценок (т. е. , можно

Рис. 12.9. Переменный во времени автоспектр вибраций стартующего космического корабля: а — переменный во времени средний квадрат; б - средний автоспектр. Интервал усреднения 20 с, разрешающая способность спектра по частоте 14 Гц; совпадает с моментом максимума вибраций. Исследование финансировалось Годдардовским центром космических полетов NASA, Гринбелт, Мэриленд (контракт

Рис. 12.10. Автоспектры вибраций космического корабля на старте, рассчитанные по отдельным отрезкам реализации (интервал усреднения 5 с, разрешающая способность спектра по частоте 14 Гц): а Исследование финансировалось Годдардовским центром космических полетов NASA, Гринбелт, шт. Мэриленд (контракт NAS5-4590).

видеть, что представленные на рис. 12.10 результаты не отличаются существенно от общей оценки показанной на рис. 12.9. На этом пример 12.11 заканчивается.

Мультипликативная модель (12.150) представляет собой очевидное обобщение модулированного процесса, рассмотренного в примере 12.10. Из этого примера видно, что роль модуляции заключается прежде всего в увеличении ширины среднего по времени спектра на величину т. е. на значение частоты модулирующего колебания. Следовательно, при стремлении верхней частоты функции к нижней частоте спектра процесса приближение перестает быть справедливым, так что описанная выше процедура анализа, проиллюстрированная примером 12.11, будет давать искаженные результаты. Если, однако, можно считать, что функция неотрицательна, а гауссов процесс, то мультипликативную модель можно аккуратно разделить на стационарное и нестационарное слагаемые при любой скорости вариаций Соответствующий прием, детально описанный в работе [12.2], кратко излагается ниже.

Пусть в формуле Зависящее от времени среднеквадратичное отклонение (которое не может быть отрицательным), а стационарный гауссов случайный процесс с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Пользуясь нестационарной реализацией построим новую стационарную реализацию по такому правилу:

Операцию преобразования, заданную условиями (12.163), часто называют идеальным ограничением, и после ее выполнения сохраняется, по существу,

только информация о пересечении нулевого уровня исходной нестационарной реализацией Полагая, однако, что неотрицательная функция, легко видеть, что пересечения нулевого уровня последовательностями совпадают (рис. 12.11). Поэтому представляет собой идеально ограниченную версию Полагая гауссовым, можно показать [12.5], что ковариационная функция процесса имеет вид

где ковариационная функция идеально ограниченного процесса вычисляемая по всей реализации длиной в виде

Окончательно, автоспектр процесса есть

Рис. 12.11. Пересечения нулевого уровня мультипликативным нестационарным процессом.

и разрешение результирующей спектральной оценки по частоте равно