Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
10.5.2. АНАЛИЗ СОВОКУПНОСТИ РЕАЛИЗАЦИЙВ предыдущем разделе были описаны методы анализа отдельных реализаций, полученных в результате эксперимента. Процедура определения наиболее важных статистических характеристик совокупности реализаций изображена схематически на рис. 10.13. Как и в случае анализа отдельных реализаций (рис. 10.12), при решении конкретных физических задач некоторые из рекомендованных на рис. 10.13 этапов обработки могут быть исключены и заменены при необходимости дополнительными видами обработки. Следует иметь в виду, что описываемые ниже приемы выполняются в предположении стационарности отдельных реализаций. Рассмотрим теперь каждый из блоков, показанных на рис. 10.13. Анализ отдельных реализаций (блок А). Этот первый этап заключается в анализе необходимых статистических свойств отдельных реализаций (рис. 10.12). Поэтому блок А на рис. 10.13 должен содержать соответствующую часть схемы, изображенной на рис. 10.12. Проверка коррелированности реализаций (блок Б). На следующем этапе анализа выясняется вопрос о существовании корреляции между (кликните для просмотра скана) отдельными реализациями совокупности. Во многих случаях для решения этой задачи достаточно беглого оценивания основных физических свойств процессов. Например, если ансамбль реализаций образован в результате наблюдений некоторых физических явлений и интервалы времени между получением отдельных реализаций достаточно велики, то можно без дальнейшего исследования считать эти реализации некоррелированными. С другой стороны, если совокупность представлена результатами одновременных измерений процессов на входе и выходе некоторой физической системы, то следует ожидать, что корреляция между реализациями существует. В тех случаях, когда отсутствие связи не вытекает с очевидностью из элементарных физических соображений, необходимо проведение специальной проверки, состоящей в вычислении взаимных корреляционных функций или функций когерентности (рис. 10.13). Проверка эквивалентности некоррелированных реализаций (блок В). Если реализации признаны некоррелированными (блок Б), то следует проверить эквивалентность их статистических свойств. На этот важный этап анализа случайных процессов часто не обращают внимания. Нередко приходится встречать такие случаи, когда результаты анализа большой совокупности реализаций представляют в виде отдельных графиков, тогда как в действительности различия в результатах, полученных для отдельных реализаций, полностью можно объяснить дисперсией оценок. Формальное представление таких избыточных сведений обычно не приносит никакой пользы; оно скорее даже вредит исследованию. Действительно, излишне большой объем анализированного материала может без всякой необходимости усложнить интерпретацию результатов. Кроме того, неопытный исследователь может ошибочно придать физический смысл случайному разбросу отдельных оценок. Наконец, если результаты анализа статистически эквивалентных данных объединены до стадии интерпретации, то, как показано ниже, точность полученных оценок возрастает. Заметим, что для большинства прикладных задач эквивалентность оценок спектров может служить достаточным критерием эквивалентности реализаций, по которым построены эти оценки. Способ проверки эквивалентности спектральных оценок описан в разд. 10.5.3. Объединение эквивалентных некоррелированных реализаций (блок Г). Результаты анализа отдельных реализаций, для которых установлена статистическая эквивалентность, должны быть объединены. Это делают путем расчета соответствующих средних взвешенных величин из оценок, полученных при анализе отдельных реализаций. Пусть, например, по двум некоррелированным реализациям получены оценки спектральной плотности, которые представляют статистически эквивалентные процессы. Если исходным оценкам
причем число усреднений для этой оценки составит
Функции
Согласно разд. 8.5.4, приближенное значение случайной ошибки оценки спектральной плотности есть Однако нужно также отметить, что операция объединения не приводит к уменьшению систематических ошибок (смещения) при оценке спектральной плотности (определение и анализ этих ошибок даны в разд. 8.5.1). Это обстоятельство зачастую вынуждает производить новую обработку реализаций, обладающих статистически эквивалентными свойствами, причем способы обработки строятся таким образом, чтобы уменьшить ошибки смещения. Для оценок спектральной плотности такая новая обработка может заключаться в пересчете оценок спектральной плотности по исходной реализации, но со значительно увеличенной разрешающей способностью по частоте. Это приводит к росту дисперсии оценки и уменьшению ошибки смещения. Последующее усреднение позволяет уменьшить дисперсию оценки. Оценивание взаимных ковариационных функций (блок Д). Подобно автоковариационной функции и спектральной плотности, взаимная ковариационная функция и взаимная спектральная плотность представляют собой пару преобразований Фурье. Следовательно, получение взаимной ковариационной функции фактически не дает никакой новой информации о процессе, кроме той, которую содержит взаимный спектр. Однако эта функция позволяет иногда получить требуемую информацию в более удобной форме. В качестве примера можно привести определение задержки по времени между процессами, измеряемыми в двух точках. Такие измерения лежат в основе многих применений, описанных в работе [10.8]. Измерение взаимной ковариационной функции как отдельная стадия анализа представлено блоком Д. Заметим, что оценка взаимной ковариационной функции может служить показателем коррелированности двух отдельных реализаций; ее вычисление является иногда промежуточным этапом при расчете взаимной спектральной плотности. Оценку взаимной ковариационной функции ищут обычно как обратное преобразование Фурье оценки взаимной спектральной плотности (см. разд. 11.6.2). Их статистическая точность рассмотрена в разд. 8.4. Оценивание взаимных спектральных плотностей (блок Вычисление оценок взаимной спектральной плотности рассмотрено в разд. 11.6.3, а их статистическая точность — в разд. 9.1. Оценивание функций когерентности (блок Ж). Оценки функций когерентности находят косвенным путем — по оценкам спектральной и взаимной спектральной плотностей. Различные типы этой функции (обычная, множественная и частная) применяются для разных целей. Во-первых, функции когерентности могут быть использованы как показатели коррелированности отдельных реализаций. Во-вторых, они играют весьма существенную роль при определении точности оценок частотных характеристик. И, во-вторых, с их помощью возможно иногда непосредственно решить некоторые задачи. Вычисление функций когерентности рассмотрено в разд. 11.6.6, а их статистическая точность — в разд. 11.7. Примеры использования функции когерентности при решении инженерных задач содержатся в работе [10.8], а статистической точности ее оценок посвящены разд. 9.2.3 и 9.3. Оценивание частотных характеристик (блок 3). Часто конечной целью анализа совокупности является установление линейных зависимостей между процессами, к которым принадлежат рассматриваемые реализации. Существование таких линейных соотношений может быть установлено по оценкам взаимных корреляционных функций, спектральных плотностей или функций когерентности. Однако вычисление частотных характеристик позволяет наилучшим образом описать линейные зависимости. Формулы для вычисления частотных характеристик и их применения рассмотрены в разд. 11.4 и 11.7, а статистическая точность оценок этих функций — в разд. 9.2.4, 9.2.5 и 9.3. Другие методы анализа совокупности реализаций (блок И). При совместном анализе совокупности реализаций в зависимости от целей конкретного исследования вычисляют и другие совместные характеристики. Сюда относятся такие более сложные спектральные характеристики, как обобщенные спектры, которые используются при анализе нестационарных процессов (см. гл. 12), а также преобразования Гильберта (см. гл. 13).
|
1 |
Оглавление
|