7.3.3. ОПТИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ДЛЯ УСЛОВНЫХ ВХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Системы с частотными характеристиками показанные на рис. 7.15, оптимальны в классе линейных систем с одним входом и одним выходом, поскольку входные процессы этих систем попарно не коррелированы. Следовательно, как было показано в гл. 6, каждая частотная характеристика равна отношению взаимной спектральной плотности входного и выходного процессов к спектральной плотности соответствующего входного процесса. Если вычисляются таким образом, что шум автоматически не коррелирован ни с одним из входных процессов, поэтому это свойство можно не включать в число предположений. Следовательно, для условных входных процессов имеем

Формулу (7.83) можно вывести прямо из соотношения (7.72), если предварительно предположить, что и не коррелирован ни с одним из входных процессов системы, изображенной на рис. 7.15. Для этого перепишем соотношение (7.72), изменив индекс суммирования:

Умножим обе части на Получим

Взяв математическое ожидание от обеих частей этого соотношения и

умножив на получим формулу (7.83), т. е.

поскольку

Выпишем частные случаи формулы (7.83):

и т. д. Частотная характеристика последней системы, т. е. имеет вид

Каковы отдельные подсистемы с одним входом и одним выходом, образующие систему, изображенную на рис. 7.15? Для того чтобы ответить на этот вопрос, заметим, что спектр выходного процесса, полученного преобразованием процесса системой с частотной характеристикой при задается формулой

где спектр входного процесса, а

есть функция частной когерентности между Далее из формулы (7.82) при имеем

Здесь спектральная плотность условной реализации Далее имеем

Отсюда следует, что система с одним условным входным процессом и одним выходом для любой условной реализации должна иметь вид, показанный на рис. 7.16.

Набор оптимальных систем с одним входом и одним выходом, эквивалентный системе, изображенной на рис. 7.15, показан на рис. 7.17. Заметим, что входная реализация преобразуется в выходную реализацию условная входная реализация преобразуется в условную выходную

Рис. 7.16. Оптимальная система с одним условным входным процессом и одним условным выходным процессом.

реализацию условная входная реализация преобразуется в условную выходную реализацию и т. д. Было бы ошибкой считать, что какой-либо из этих условных процессов влияет на суммарный выходной процесс

Рис. 7.17. (см. скан) Системы с одним входом и одним выходом, эквивалентные системе, изображенной на рис. 7.15.