Главная > Основы компьютерной алгебры с приложениями
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2.1.3. Функции и алгебраические системы

Мы начнем со следующего определения.

Определение 2.1.5. Пусть А и В — непустые множества. Функцией из множества А в множество В или отображением множества А в множество В называется правило, ставящее в соответствие каждому элементу единственный элемент .

С теоретико-множественной точки зрения мы можем рассматривать функцию из А в В как подмножество произведения , т.е. , со следующим свойством: для всякого существует ровно один элемент такой, что Для образ или значение f в — это единственный элемент , соответствующий элементу Мы используем для функции из А в В обозначение или . Множество (подмножество множества В) называется образом А относительно функции Для множество (подмножество множества А) называется прообразом элемента у. Прообраз у — множество всех элементов из А, образ которых равен у. (Замечание. Как мы увидим ниже, является подмножеством в х, но не функцией.) В случае когда множества обладают алгебраической структурой (когда мы имеем дело с группами, кольцами, полями — эти понятия будут определены ниже), функции, сохраняющие алгебраическую структуру (бинарные операции), называются гомоморфизмами (homo = та же, morphism = форма). Более точно,

отображение , где А и В — множества с алгебраической структурой, называется гомоморфизмом, если

Здесь — мультипликативные единицы (см. определение 2.1.13) в А и В. (Отметим, что условие в общем случае не выполняется, но будет справедливо везде в этой книге.)

Функция (отображение) называется сюргективной (отображением ), если (иначе говоря, каждый элемент в В является образом некоторого элемента из А). Функция называется взаимно однозначной или ингективной, если влечет за собой (иначе говоря, образы различных элементов из А различны в В). Инъективная и сюръективная функция называется биективной или просто биекцией. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом, а множества А и В — изоморфными, это обозначается через .

Примеры функций.

Пусть А, В обозначают множества.

1. Для всякого множества А тождественная функция задается формулой для любых . Очевидно, что биективна.

2. Проекция произведения множеств на первый сомножитель задается формулой Она сюръективна. Чему равно для ? Аналогично определяется проекция на второй сомножитель В.

3. Если на А задано отношение эквивалентности , то имеется каноническая (или естественная) функция , которая отображает каждый элемент в его класс эквивалентности, в фактормножестве . Мы будем использовать одно и то же обозначение для класса эквивалентности как в случае, когда мы рассматриваем его как подмножество в А, так и в случае, когда мы рассматриваем его как элемент фактормножества обычно из контекста понятно, что имеется в виду. Например, в случае прообраз класса эквивалентности, рассматриваемого как элемент фактормножества, — это множество , которое в последнем случае рассматривается как подмножество в b.

4. Функция следования задается формулой . Она инъективна. (Почему?)

5. Функция сложения , где — пример бинарной операции. Чему равно Является ли функция инъективной либо сюръективной?

Как сказано выше, сложение — пример бинарной операции. Бинарная операция на множестве S может обладать следующими двумя важными свойствами. Если для любых в S выполняется равенство называется коммутативной. Если для всякой тройки элементов в S выполняется равенство , то называется ассоциативной. Например, на Z операции коммутативны и ассоциативны, а операция — не обладает ни одним из этих свойств.

Ладим точное определение конечного множества. Будем называть множество S конечным, если всякая инъективная функция сюръективна. Как мы увидим, понятия сюръективности и инъективности совпадают для функций, отображающих конечное множество в (теорема 2.1.7); это наиболее важное свойство конечных множеств. Функция следования заданная равенством инъективна, но не сюръективна; поэтому, согласно нашему определению, множество N не конечно. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1.6. Множество S конечно тогда и только тогда, когда существуют единственное и биекция множества на

Доказательство. Теорема интуитивно очевидна.

Теорема 2.1.7. Пусть S — конечное множество и сюръективная функция. Тогда инъективна.

Доказательство. Так как сюръективна, для каждого элемента мы мажем выбрать такой, что определим функцию равенством Если то и потому инъективна; следовательно, поскольку S конечно, должна быть сюръективной. Если бы не была инъективной, то существовали бы в S, такие, что Однако, поскольку сюръективна, существуют и в S, такие, что Имеем что противоречит соотношению

Две функции равны, если для всех . Если две функции, то для всякого и, следовательно, имеет смысл. Мы определим композицию функций как функцию , заданную равенством для любых . Композиция действует так: сначала применяется затем .

Пример. Сложение по модулю 5 — это функция заданная равенством Она является композицией функции сложения и канонического факторотображения в фактормножество из предыдущего примера:

В случае когда композиция функций имеет смысл, выполняется закон ассоциативности.

Предложение 2.1.8 (закон ассоциативности для композиции). функций справедливо равенство

Доказательство. имеем

Если — биекция, то для каждого прообраз состоит ровно из одного элемента такого, что Определим обратную функцию как функцию, которая каждому у ставит в соответствие единственный элемент такой, что где . Применяя операцию композиции к получаем функции ; нетрудно проверить, что Таким образом, где через и обозначены тождественные функции на соответствующих множествах.

Суммируем некоторые свойства функций, которые сохраняются при композиции.

Предложение 2.1.9. Пусть тогда

a. Если сюръективны, то до f сюръективна.

b. Если инъективны, то инъективна.

c. Если биективны, то биективна и обратная функция к композиции равняется композиции обратных функций в обратном порядке.

Доказательство. Докажем только часть а, оставив остальное читателю. Пусть ; поскольку отображает В на С, найдется элемент , такой, что Далее, так как также сюръективна, найдется элемент а , такой, что Поэтому сюръективна.

Рассмотрим функцию Определим отношение эквивалентности на множестве А следующим образом: два элемента эквивалентны, если Проверьте, что это отношение эквивалентности. Зададим теперь функцию на множестве классов эквивалентности равенством для класса эквивалентности Мы определили образ класса под действием i через представитель нужно проверить, что если мы выберем другой представитель так что , то получим такой же образ. По нашему определению i имеем Но означает, что поэтому i определена корректно. По построению инъективна. Пусть каноническое отображение на фактормножество. В использованных обозначениях мы доказали следующую теорему.

Теорема 2.1.10 (теорема о факторизации для функций). Пусть — произвольная функция. Тогда диаграмма

представляет в виде композиции сюръекции s и инъекции а именно

Пример. Рассмотрим функцию Она представляется в виде , где сюръекция — это функция а инъекция — функция

В теореме 2.1.10 утверждается, что пропускается через фактормножество Когда множества имеют алгебраическую структуру (например, структуру группы или кольца), фактормножество также имеет ту же структуру; можно использовать теорему о факторизации, чтобы показать, что всякий гомоморфизм представляется в виде композиции сюръективного и инъективного гомоморфизмов. Непосредственно получаем

Следствие 2.1.11. Функция , где образ множества А, лежащий в В, является биекцией на

Рассмотрим один важный пример, который приведет нас к понятию группы, первой алгебраической системы, которую мы хотим представить.

Пусть А — некоторое множество. Обозначим множество биекций в А через . По предложению 2.1.8 композиция функций ассоциативна; по предложению 2.1.9 композиция двух биекций также является биекцией. Далее, тождественная функция принадлежит и если принадлежит то и обратная функция принадлежит Собирая вместе эти результаты, мы получаем следующую теорему.

Теорема 2.1.12 (определение группы). Пусть А — произвольное непустое множество. Рассмотрим множество биекций на Тогда:

Пункт а теоремы 2.1.12 утверждает, что замкнуто относительно бинарной операции , пункт b — что ассоциативна, пункт с — что тождественная функция является единичным элементом в и пункт d — что каждый элемент из имеет обратный в . В общем случае множество, замкнутое относительно ассоциативной бинарной операции, имеющее единичный элемент и в котором все элементы обратимы, называется группой. Таким образом, — группа относительно операции о. Обычно если операция в группе называется сложением (умножением), то группа называется аддитивной (мультипликативной). Пусть — множество из элементов; тогда обозначает множество всех перестановок на элементах. называется симметрической группой степени . Она содержит элементов. Очевидно, что ненулевые рациональные числа с операцией умножения образуют группу с 1 в качестве групповой единицы и в качестве обратного элемента к произвольному ненулевому элементу все множество рациональных чисел не образует группу.

Рассмотрим теперь алгебраические системы с двумя бинарными операциями — сложением и умножением.

Определение 2.1.13. Кольцом называется алгебраическая система, удовлетворяющая следующим условиям:

a. R является коммутативной группой относительно операции (коммутативность означает, что для любых ). Единичный элемент относительно операции сложения называется нулевым элементом и обозначается или просто 0.

b. R не является группой по умножению, так как (некоторые) элементы могут не иметь обратных, однако оно замкнуто относительно умножения, умножение ассоциативно и существует единичный элемент относительно умножения, обозначаемый или просто 1.

c. Умножение дистрибутивно относительно сложения: для любых

Множества являются кольцами относительно обычных операций. Некоторые примеры множеств, не являющихся кольцами: множество натуральных чисел N, множество положительных вещественных чисел с обычными операциями множество всех целых чисел, кроме 5.

Множество не является кольцом относительно обычных операций сложения и умножения, потому что для элементов сумма не обязательно принадлежит например, . В этом случае мы говорим, что не замкнуто относительно сложения, и подразумеваем, что подмножество большего множества b, в котором сумма и произведение элементов всегда имеют смысл. Аналогично определяется незамкнутость относительно умножения.

Кольцо называется коммутативным, если умножение в нем коммутативно, Пусть R — коммутативное кольцо, обозначают единичные элементы для операций сложения и умножения. Возможны две ситуации. В первой ( раз) для любого . В этом случае мы будем говорить, что R имеет характеристику 0; примерами являются . В другой ситуации существует такое, что ( раз), и этот случай будет рассмотрен ниже.

Уделим теперь внимание двум очень важным типам коммутативных колец.

Определение 2.1.14. Элемент коммутативного кольца R называется делителем нуля, если для некоторого (b также делитель нуля). Элемент и из R называется обратимым, если существует обратный к нему элемент, т.е. для некоторого

Пример. Рассмотрим алгебраическую систему проверьте, что это коммутативное кольцо. Как мы еще раз увидим ниже, при работе с целыми числами по модулю m мы определяем произведение двух классов эквивалентности из как класс эквивалентности, содержащий произведение представителей. Таким образом, если то значит, 2 и 4 являются делителями нуля. Заметим, что при подобный пример невозможен. Действительно, каждый ненулевой элемент из обратим; обратные к элементам 2, 3 и 4 — это элементы 3, 2 и 4 соответственно.

Из предыдущего определения несложно вывести, что элемент кольца не мажет быть одновременно обратимым и делителем нуля, и мы приходим к определению двух важных классов нетривиальных коммутативных колец, где нетривиалъностъ означает, что кольцо имеет более одного элемента.

Определение 2.1.15. Областью целостности называется нетривиальное коммутативное кольцо без делителей нуля.

Классический пример области целостности (из которого возникло название) — кольцо целых чисел Z; в нем обратимы только элементы

Определение 2.1.16. Полем называется нетривиальное коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим, или, эквивалентно, поле — это алгебраическая система, удовлетворяющая следующим условиям:

a. F — коммутативная группа относительно операции +.

b. Множество ненулевых элементов из F образует коммутативную группу относительно операции.

c. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

Отметим, что поле является областью целостности. Несложно проверить, что множество вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения является полем; Q и С также поля. Эти поля содержат бесконечно много элементов. Существуют

и поля с конечным числом элементов; они называются полями Галуа (GF). Например, множество {0,1} с операциями сложения и умножения по модулю 2 — поле, обозначаемое GF(2); проверьте это.

Рассмотрим конечное поле из q элементов GF(q) и образуем последовательность сумм

Так как поле замкнуто относительно сложения, эти суммы должны быть его элементами; более того, так как количество элементов определяемого поля конечно, в этой последовательности должны быть повторения. Поэтому существуют положительные целые числа такие, что

Отсюда следует, что и потому существует наименьшее целое положительное число А, такое, что

Это число А называется характеристикой поля Например, характеристика поля GF(2) равняется двум, так как

1
Оглавление
email@scask.ru