2.1.3. Функции и алгебраические системы

Мы начнем со следующего определения.

Определение 2.1.5. Пусть А и В — непустые множества. Функцией из множества А в множество В или отображением множества А в множество В называется правило, ставящее в соответствие каждому элементу единственный элемент .

С теоретико-множественной точки зрения мы можем рассматривать функцию из А в В как подмножество произведения , т.е. , со следующим свойством: для всякого существует ровно один элемент такой, что Для образ или значение f в — это единственный элемент , соответствующий элементу Мы используем для функции из А в В обозначение или . Множество (подмножество множества В) называется образом А относительно функции Для множество (подмножество множества А) называется прообразом элемента у. Прообраз у — множество всех элементов из А, образ которых равен у. (Замечание. Как мы увидим ниже, является подмножеством в х, но не функцией.) В случае когда множества обладают алгебраической структурой (когда мы имеем дело с группами, кольцами, полями — эти понятия будут определены ниже), функции, сохраняющие алгебраическую структуру (бинарные операции), называются гомоморфизмами (homo = та же, morphism = форма). Более точно,

отображение , где А и В — множества с алгебраической структурой, называется гомоморфизмом, если

Здесь — мультипликативные единицы (см. определение 2.1.13) в А и В. (Отметим, что условие в общем случае не выполняется, но будет справедливо везде в этой книге.)

Функция (отображение) называется сюргективной (отображением ), если (иначе говоря, каждый элемент в В является образом некоторого элемента из А). Функция называется взаимно однозначной или ингективной, если влечет за собой (иначе говоря, образы различных элементов из А различны в В). Инъективная и сюръективная функция называется биективной или просто биекцией. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом, а множества А и В — изоморфными, это обозначается через .

Примеры функций.

Пусть А, В обозначают множества.

1. Для всякого множества А тождественная функция задается формулой для любых . Очевидно, что биективна.

2. Проекция произведения множеств на первый сомножитель задается формулой Она сюръективна. Чему равно для ? Аналогично определяется проекция на второй сомножитель В.

3. Если на А задано отношение эквивалентности , то имеется каноническая (или естественная) функция , которая отображает каждый элемент в его класс эквивалентности, в фактормножестве . Мы будем использовать одно и то же обозначение для класса эквивалентности как в случае, когда мы рассматриваем его как подмножество в А, так и в случае, когда мы рассматриваем его как элемент фактормножества обычно из контекста понятно, что имеется в виду. Например, в случае прообраз класса эквивалентности, рассматриваемого как элемент фактормножества, — это множество , которое в последнем случае рассматривается как подмножество в b.

4. Функция следования задается формулой . Она инъективна. (Почему?)

5. Функция сложения , где — пример бинарной операции. Чему равно Является ли функция инъективной либо сюръективной?

Как сказано выше, сложение — пример бинарной операции. Бинарная операция на множестве S может обладать следующими двумя важными свойствами. Если для любых в S выполняется равенство называется коммутативной. Если для всякой тройки элементов в S выполняется равенство , то называется ассоциативной. Например, на Z операции коммутативны и ассоциативны, а операция — не обладает ни одним из этих свойств.

Ладим точное определение конечного множества. Будем называть множество S конечным, если всякая инъективная функция сюръективна. Как мы увидим, понятия сюръективности и инъективности совпадают для функций, отображающих конечное множество в (теорема 2.1.7); это наиболее важное свойство конечных множеств. Функция следования заданная равенством инъективна, но не сюръективна; поэтому, согласно нашему определению, множество N не конечно. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.1.6. Множество S конечно тогда и только тогда, когда существуют единственное и биекция множества на

Доказательство. Теорема интуитивно очевидна.

Теорема 2.1.7. Пусть S — конечное множество и сюръективная функция. Тогда инъективна.

Доказательство. Так как сюръективна, для каждого элемента мы мажем выбрать такой, что определим функцию равенством Если то и потому инъективна; следовательно, поскольку S конечно, должна быть сюръективной. Если бы не была инъективной, то существовали бы в S, такие, что Однако, поскольку сюръективна, существуют и в S, такие, что Имеем что противоречит соотношению

Две функции равны, если для всех . Если две функции, то для всякого и, следовательно, имеет смысл. Мы определим композицию функций как функцию , заданную равенством для любых . Композиция действует так: сначала применяется затем .

Пример. Сложение по модулю 5 — это функция заданная равенством Она является композицией функции сложения и канонического факторотображения в фактормножество из предыдущего примера:

В случае когда композиция функций имеет смысл, выполняется закон ассоциативности.

Предложение 2.1.8 (закон ассоциативности для композиции). функций справедливо равенство

Доказательство. имеем

Если — биекция, то для каждого прообраз состоит ровно из одного элемента такого, что Определим обратную функцию как функцию, которая каждому у ставит в соответствие единственный элемент такой, что где . Применяя операцию композиции к получаем функции ; нетрудно проверить, что Таким образом, где через и обозначены тождественные функции на соответствующих множествах.

Суммируем некоторые свойства функций, которые сохраняются при композиции.

Предложение 2.1.9. Пусть тогда

a. Если сюръективны, то до f сюръективна.

b. Если инъективны, то инъективна.

c. Если биективны, то биективна и обратная функция к композиции равняется композиции обратных функций в обратном порядке.

Доказательство. Докажем только часть а, оставив остальное читателю. Пусть ; поскольку отображает В на С, найдется элемент , такой, что Далее, так как также сюръективна, найдется элемент а , такой, что Поэтому сюръективна.

Рассмотрим функцию Определим отношение эквивалентности на множестве А следующим образом: два элемента эквивалентны, если Проверьте, что это отношение эквивалентности. Зададим теперь функцию на множестве классов эквивалентности равенством для класса эквивалентности Мы определили образ класса под действием i через представитель нужно проверить, что если мы выберем другой представитель так что , то получим такой же образ. По нашему определению i имеем Но означает, что поэтому i определена корректно. По построению инъективна. Пусть каноническое отображение на фактормножество. В использованных обозначениях мы доказали следующую теорему.

Теорема 2.1.10 (теорема о факторизации для функций). Пусть — произвольная функция. Тогда диаграмма

представляет в виде композиции сюръекции s и инъекции а именно

Пример. Рассмотрим функцию Она представляется в виде , где сюръекция — это функция а инъекция — функция

В теореме 2.1.10 утверждается, что пропускается через фактормножество Когда множества имеют алгебраическую структуру (например, структуру группы или кольца), фактормножество также имеет ту же структуру; можно использовать теорему о факторизации, чтобы показать, что всякий гомоморфизм представляется в виде композиции сюръективного и инъективного гомоморфизмов. Непосредственно получаем

Следствие 2.1.11. Функция , где образ множества А, лежащий в В, является биекцией на

Рассмотрим один важный пример, который приведет нас к понятию группы, первой алгебраической системы, которую мы хотим представить.

Пусть А — некоторое множество. Обозначим множество биекций в А через . По предложению 2.1.8 композиция функций ассоциативна; по предложению 2.1.9 композиция двух биекций также является биекцией. Далее, тождественная функция принадлежит и если принадлежит то и обратная функция принадлежит Собирая вместе эти результаты, мы получаем следующую теорему.

Теорема 2.1.12 (определение группы). Пусть А — произвольное непустое множество. Рассмотрим множество биекций на Тогда:

Пункт а теоремы 2.1.12 утверждает, что замкнуто относительно бинарной операции , пункт b — что ассоциативна, пункт с — что тождественная функция является единичным элементом в и пункт d — что каждый элемент из имеет обратный в . В общем случае множество, замкнутое относительно ассоциативной бинарной операции, имеющее единичный элемент и в котором все элементы обратимы, называется группой. Таким образом, — группа относительно операции о. Обычно если операция в группе называется сложением (умножением), то группа называется аддитивной (мультипликативной). Пусть — множество из элементов; тогда обозначает множество всех перестановок на элементах. называется симметрической группой степени . Она содержит элементов. Очевидно, что ненулевые рациональные числа с операцией умножения образуют группу с 1 в качестве групповой единицы и в качестве обратного элемента к произвольному ненулевому элементу все множество рациональных чисел не образует группу.

Рассмотрим теперь алгебраические системы с двумя бинарными операциями — сложением и умножением.

Определение 2.1.13. Кольцом называется алгебраическая система, удовлетворяющая следующим условиям:

a. R является коммутативной группой относительно операции (коммутативность означает, что для любых ). Единичный элемент относительно операции сложения называется нулевым элементом и обозначается или просто 0.

b. R не является группой по умножению, так как (некоторые) элементы могут не иметь обратных, однако оно замкнуто относительно умножения, умножение ассоциативно и существует единичный элемент относительно умножения, обозначаемый или просто 1.

c. Умножение дистрибутивно относительно сложения: для любых

Множества являются кольцами относительно обычных операций. Некоторые примеры множеств, не являющихся кольцами: множество натуральных чисел N, множество положительных вещественных чисел с обычными операциями множество всех целых чисел, кроме 5.

Множество не является кольцом относительно обычных операций сложения и умножения, потому что для элементов сумма не обязательно принадлежит например, . В этом случае мы говорим, что не замкнуто относительно сложения, и подразумеваем, что — подмножество большего множества b, в котором сумма и произведение элементов всегда имеют смысл. Аналогично определяется незамкнутость относительно умножения.

Кольцо называется коммутативным, если умножение в нем коммутативно, Пусть R — коммутативное кольцо, обозначают единичные элементы для операций сложения и умножения. Возможны две ситуации. В первой ( раз) для любого . В этом случае мы будем говорить, что R имеет характеристику 0; примерами являются . В другой ситуации существует такое, что ( раз), и этот случай будет рассмотрен ниже.

Уделим теперь внимание двум очень важным типам коммутативных колец.

Определение 2.1.14. Элемент коммутативного кольца R называется делителем нуля, если для некоторого (b также делитель нуля). Элемент и из R называется обратимым, если существует обратный к нему элемент, т.е. для некоторого

Пример. Рассмотрим алгебраическую систему проверьте, что это коммутативное кольцо. Как мы еще раз увидим ниже, при работе с целыми числами по модулю m мы определяем произведение двух классов эквивалентности из как класс эквивалентности, содержащий произведение представителей. Таким образом, если то значит, 2 и 4 являются делителями нуля. Заметим, что при подобный пример невозможен. Действительно, каждый ненулевой элемент из обратим; обратные к элементам 2, 3 и 4 — это элементы 3, 2 и 4 соответственно.

Из предыдущего определения несложно вывести, что элемент кольца не мажет быть одновременно обратимым и делителем нуля, и мы приходим к определению двух важных классов нетривиальных коммутативных колец, где нетривиалъностъ означает, что кольцо имеет более одного элемента.

Определение 2.1.15. Областью целостности называется нетривиальное коммутативное кольцо без делителей нуля.

Классический пример области целостности (из которого возникло название) — кольцо целых чисел Z; в нем обратимы только элементы

Определение 2.1.16. Полем называется нетривиальное коммутативное кольцо, в котором каждый ненулевой элемент обратим, или, эквивалентно, поле — это алгебраическая система, удовлетворяющая следующим условиям:

a. F — коммутативная группа относительно операции +.

b. Множество ненулевых элементов из F образует коммутативную группу относительно операции.

c. Умножение дистрибутивно относительно сложения.

Отметим, что поле является областью целостности. Несложно проверить, что множество вещественных чисел с обычными операциями сложения и умножения является полем; Q и С также поля. Эти поля содержат бесконечно много элементов. Существуют

и поля с конечным числом элементов; они называются полями Галуа (GF). Например, множество {0,1} с операциями сложения и умножения по модулю 2 — поле, обозначаемое GF(2); проверьте это.

Рассмотрим конечное поле из q элементов GF(q) и образуем последовательность сумм

Так как поле замкнуто относительно сложения, эти суммы должны быть его элементами; более того, так как количество элементов определяемого поля конечно, в этой последовательности должны быть повторения. Поэтому существуют положительные целые числа такие, что

Отсюда следует, что и потому существует наименьшее целое положительное число А, такое, что

Это число А называется характеристикой поля Например, характеристика поля GF(2) равняется двум, так как