7.3.2. Подстановки Мёбиуса и их воздействие на корни уравнения

Существеннейшую роль в обсуждении теоремы Винсента (в разд. 7.3.3) играют подстановки вида Они принадлежат классу дробно-линейных подстановок, или подстановок Мёбиуса, названных в честь Августа Ф. Мёбиуса (1790-1868), который первым изучал соответствующие преобразования в проективной геометрии.

Определение 7.3.2. Общая подстановка определяется выражением

где — комплексные числа, такие, что их определитель отличен от нуля; она называется также подстановкой Мебиуса и сокращенно обозначается

Для любого подстановка задается непосредственно выражением из определения 7.3.2 при условии, что в противном случае мы полагаем Если , то мы должны иметь поскольку определитель коэффициентов должен быть ненулевым, и выражение, определяющее подстановку, принимает вид

более того, в этом случае в то время как если с то

Легко видеть, что каждой подстановке Мёбиуса соответствует квадратная матрица ее коэффициентов, и это полностью определяет подстановку. Пусть

— множество всех подстановок Мёбиуса, где — пополненная комплексная плоскость. В М вводится отношение равенства условием, что две подстановки совпадают [другими словами для всех , если и только если существует элемент такой, что (последнее равенство — равенство матриц).

Теорема 7.3.3. Множество М подстановок Мёбиуса образует группу, изоморфную группе квадратных матриц ранга 2.

Доказательство. Мы уже определили отношение равенства на М. Теперь определим произведение двух подстановок как произведение соответствующих матриц. Так определенное произведение также является подстановкой, потому что

Отметим, что подстановки применяются последовательно слева направо.

В качестве единичного элемента в М возьмем тождественную подстановку, матрица которой имеет вид

Из нашего определения равенства видно, что где , совпадает с тождественной подстановкой. Для обратная подстановка — это , где

является обратной матрицей для М; очевидно, что [Отметим, что по определению равенства мы можем взять

что немедленно получается, если решить относительно Группа М неабелева, поскольку в общем случае

Определение 7.3.4. Следующие три подстановки Мёбиуса называются порождающими подстановками группы М:

i. Сдвиг:

ii. Растяжение:

iii. Инверсия:

Если а — комплексное число, то растяжение называется вращением.

Следующая теорема проясняет значение порождающих подстановок.

Теорема 7.3.5. Каждая подстановка получается перемножением подходящих порождающих подстановок (умножения выполняются последовательно слева направо). Таким образом, каждая общая подстановка осуществляется последовательностью порождающих подстановок.

Доказательство. Пусть

Чтобы доказать теорему, рассмотрим отдельно следующие два случая:

Случай . В этом случае мы легко убеждаемся, что где

поскольку

Другими словами, при подстановка эквивалентна сдвигу сопровождаемому растяжением

Случай . В этом случае подстановка эквивалентна сдвигу сопровождаемому инверсией сопровождаемой другим сдвигом за которым, наконец, следует растяжение где

Ясно, что их произведение равно

Пример. Рассмотрим подстановку , матрица которой имеет вид

Применяя теорему 7.3.5, получаем

Поэтому подстановка эквивалентна инверсии сопровождаемой сдвигом

Из предыдущего примера и упр. 1 к этому разделу мы легко получаем, что подстановка за которой следует подстановка , эквивалентна подстановке сопровождаемой подстановкой

Мы теперь подготовлены к исследованию действия подстановок Мёбиуса, или, эквивалентно, порождающих подстановок, на корнях полиномиального уравнения Пусть

Когда имеет место сдвиг, мы заменяем на для некоторого вещественного к и получаем полином

Таким образом, при сдвиге вещественная часть корней преобразованного полиномиального уравнения будет увеличиваться или уменьшаться в соответствии с тем, является к отрицательным или положительным.

Когда выполняется растяжение, заменяется на для некоторого вещественного . Следовательно,

Разделив на получаем

Поэтому после растяжения вида или корни преобразованного полиномиального уравнения будут соответственно разделены или умножены на А. [Заметим, что если где b — верхняя граница абсолютных значений корней полинома то все корни полинома будут находиться внутри единичного

Наконец, если имеет место инверсия, то преобразованное полиномиальное уравнение имеет вид

Умножая на получаем

откуда видно, что с помощью инверсии мы получаем преобразованное полиномиальное уравнение, корни которого мультипликативно обратны корням исходного полиномиального уравнения.

Рассмотрев, как действуют порождающие подстановки на корнях полиномиального уравнения от одной неизвестной, мы теперь кратко обсудим, как эти подстановки фактически выполняются.

Сдвиг полиномиального уравнения представляет наибольший интерес. Аналитически он может быть получен с помощью формулы разложения Тейлора Если

и вместо подставляется то коэффициенты преобразованного полинома суть

и могут быть получены из формулы

Эти вычисления несколько упрощаются при но даже в этом случае требуемое количество вычислений легко может обескуражить. К счастью, мы видели, что существует метод Руффини-Горнера [см. разд. 3.1.2 и (Cajori, 1911)].

Инверсию очень просто реализовать. В силу легко видеть, что для того, чтобы выполнить подстановку достаточно изменить на обратный порядок коэффициентов полинома.

Растяжение может достигаться [см. также масштабированием коэффициентов степенями к, начиная с коэффициента, соответствующего второй по старшинству степени.