7.3. Теорема Бюдана и два метода цепных дробей для отделения вещественных корней

До сих пор мы рассматривали метод Штурма отделения вещественных корней уравнения. Исторически это был первый метод, подлежащий развитию, и он являлся весьма крупным достижением. В этом разделе мы исследуем два метода цепных дробей, описанные в литературе, для отделения вещественных корней уравнения; первый из этих методов был разработан в 1836 г. Винсентом (Vincent) и является экспоненциальным, в то время как второй был разработан в 1978 г. автором (Akritas, 1978а, 1980а, 1980b) и существенно быстрее метода Штурма (и всех остальных). Мы начнем с теоремы Бюдана, которая, как уже упоминалось, эквивалентна теореме Фурье.

7.3.1. Теорема Бюдана

Хотя теорема Бюдана появилась гораздо раньше теоремы Фурье, она не была замечена и почти не появлялась в стандартных текстах по теории уравнений. Однако она имеет очень большое значение, потому что составляет основу теоремы Винсента. Следующая формулировка этой теоремы взята из статьи Винсента 1836 г.

Другая верхняя граница числа для вещественных корней уравнения в открытом интервале.

Теорема 7.3.1 (Бюдан, 1807 г.). Если в уравнении относительно степени мы сделаем две подстановки , где — вещественные числа, такие, что , то будут справедливы следующие утверждения:

i. Преобразованное уравнение относительно не мажет иметь меньше перемен знаков, чем преобразованное уравнение относительно .

ii. Число вещественных корней уравнения расположенных между , не может быть больше числа перемен знаков, потерянных в последовательности коэффициентов при переходе от преобразованного уравнения относительно к преобразованному уравнению относительно

iii. Если число вещественных корней уравнения лежащих между меньше числа перемен знаков, потерянных в последовательности коэффициентов при переходе от преобразованного уравнения относительно к преобразованному уравнению относительно то разность — четное число.

Доказательство. Доказательство аналогично доказательству теоремы

Теоремы 7.2.5 и 7.3.1 эквивалентны. В этом легко убедиться, если в последовательности Фурье заменить любым вещественным числом а. Тогда получающихся чисел пропорциональны соответствующим коэффициентам преобразованного полиномиального уравнения полуденным с помощью формулы разложения Тейлора.

Теорема Бюдана так же, как теорема 7.2.5, дает нам верхнюю границу для числа вещественных корней уравнения внутри интервала . Однако она использует только подстановки и не зависит от какой-либо последовательности полиномов; эти подстановки называются подстановками Мёбиуса или дробно-линейными подстановками и из-за их значимости ниже они исследуются по отдельности.