7.2. Теорема Фурье и метод бисекций Штурма отделения вещественных корней

Этот раздел мы начинаем теоремой Фурье, которая дает нам возможность определять максимум возможного числа вещественных корней уравнения с целыми коэффициентами на данном интервале, а затем мы увидим, как Штурм модифицировал этот метод для получения точного числа вещественных корней на этом интервале.

7.2.1. Теорема Фурье

Теорема Фурье, опубликованная впервые в 1820 г., также была включена в книгу «Analyse des Equations», опубликованную впоследствии

Навье в 1831 г. Эту теорему, иногда под названием теоремы Бюдана-Фурье или даже просто Бюдана, можно найти почти во всех работах по теории уравнений. [Гурвиц (Hurwitz, 1912) представляет ее как частный случай более общей теоремы, а Обрешкоф (Obreschkoff, 1963) обобщает ее на случай комплексных корней.] Мы приведем ее после того, как докажем следующие две леммы; хотя нас интересуют полиномы с целыми коэффициентами, мы докажем эти леммы для общего случая вещественных коэффициентов.

Лемма 7.2.1. Пусть — полиномиальное уравнение степени с вещественным коэффициентами, и пусть а — один из его вещественных корней (если такие существуют). Для достаточно малого полиномы [производная от полинома имеют противоположные знаки в интервале и одинаковые знаки в интервале .

Локазательство. Лемма непосредственно следует из рассмотрения формулы разложения Тейлора где есть производная. Предположим, что а имеет кратность тогда для мы имеем

и

откуда видно, что знаки этих выражений [которые для достаточно малого зависят от знака члена противоположны на и совпадают на

Применяя предыдущий результат к последовательным производным, получаем такой результат.

Лемма 7.2.2. Пусть — полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами степени и пусть а — один из его вещественных корней кратности т. В последовательности функций есть производная] для достаточно малого мы можем заменить на так, чтобы знаки в получающейся числовой последовательности чередовались, и мы можем заменять на так, чтобы все знаки в получающейся числовой последовательности совпадал и со знаком первой функции, для которой а не является корнем.

Доказательство. Доказательство мы оставляем читателю в качестве упражнения.

Определение 7.2.3. Мы говорим, что между двумя ненулевыми членами конечной или бесконечной последовательности вещественных чисел имеет место перемена знаков, если выполнено одно из следующих условий:

i. Для имеют противоположные знаки.

ii. Для все числа равны нулю, а имеют противоположные знаки.

Пример. Рассмотрим полином коэффициенты которого образуют конечную последовательность чисел Ясно, что в этой последовательности имеются 2 перемены знаков.

Определение 7.2.4. Пусть — полиномиальное уравнение степени с вещественными коэффициентами. Тогда последовательность функций

где есть производная, называется последовательностью Фурье.

Пример. Рассмотрим полиномиальное уравнение Последовательность Фурье, соответствующая этому полиному, — это

Мы готовы теперь сформулировать и доказать теорему Фурье. Читатель должен тщательно изучить доказательство, потому что оно полезно для понимания.

Верхняя грань числа вещественных корней уравнения в открытом интервале.

Теорема 7.2.5 (Фурье 1820). Пусть — полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами степени Если в последовательности Фурье мы заменим любыми двумя вещественными числами , то для двух получившихся числовых последовательностей выполняются такие условия:

i. не может иметь меньше перемен знаков, чем .

ii. Число вещественных корней уравнения размещенных между и q, никогда не может быть больше, чем число перемен

знаков, потерянных в при переходе от подстановки к подстановке

Если число вещественных корней уравнения размещенных между и q, меньше числа перемен знаков, потерянных в при переходе от подстановки к подстановке , то разность — четное число.

Локазательство. При изменении число перемен знаков в последовательности Фурье может измениться только тогда, когда — нуль полинома или какой-то из его производных. Эти два случал мы будем исследовать раздельно.

Случай 1. Пусть а — нуль полинома кратности Пользуясь леммой 7.2.2, мы видим, что при изменении в интервале для достаточно малого мы имеем в первых членах его последовательности Фурье непосредственно перед переходом через а перемен знаков и нуль перемен знаков немедленно после этого перехода. Знаки остальных членов последовательности не меняются. Таким образом, в теряются перемен знаков.

Случай 2. Пусть теперь а — нуль кратности одной из производных, т.е. для некоторого мы имеем Рассмотрим последовательность

где — первая функция, для которой а не является корнем. Заметим, что при изменении для достаточно малого знаки остаются неизменными, поскольку эти полиномы не обращаются в нуль. Разбирая различные случаи, когда знаки одинаковы или противоположны и кратность m четная или нечетная, мы убеждаемся, что общее число потерянных перемен знаков — четное число.

Таким образом, мы убедились, что при прохождении данного интервала число потерянных перемен знаков должно либо быть равным числу корней полинома в этом интервале, либо превосходить его на четное число.

Пример. Рассмотрим полином последовательностью Фурье которого, как мы уже видели, является Тогда, чтобы найти верхнюю границу числа вещественных корней в интервале (0,2), мы

вычисляем значения последовательности Фурье в точках 0 и 2 и получаем следующие числовые последовательности:

где имеет 2 перемены знаков, — ни одной. По теореме Фурье полином или имеет два вещественных корня в интервале (0,2) или не имеет ни одного; это определяется дальнейшими исследованиями.

Очевидно, теорема Фурье дает нам верхнюю границу числа вещественных корней уравнения (с вещественными коэффициентами и степени ) внутри интервала ; заметим, что непосредственной подстановкой мы можем легко определять, являются ли и q корнями.

Теорема 7.2.5 мажет быть использована для простого доказав тельства правила знаков дано-Декарта.

Верхняя граница числа положительных корней уравнения.

Теорема 7.2.6 (Кардано-Декарт). Пусть спхп — полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами. Если v — число перемен знаков в последовательности коэффициентов (нулевые коэффициенты просто опускаются) и — число положительных корней уравнения то

где целое число.

Локазательство. Мы ищем верхнюю границу числа корней уравнения в интервале . Последовательность Фурье в этом случае имеет вид

Применяя теорему Фурье, при мы получаем последовательность

которая имеет v перемен знаков, в то время как последовательность не имеет ни одной перемены знаков (поскольку знаки всех ее членов совпадают со знаком ). Поэтому по теореме 7.2.5

где целое число, а это и есть правило знаков Кардано-Декарта.

Пример. Рассмотрим полиномиальное уравнение Поскольку в последовательности его коэффициентов имеются две перемены знаков, из правила знаков Кардано-Декарта мы знаем, что либо имеет два положительных корня, либо не имеет ни одного; это определяется дальнейшими исследованиями.