ПРИЛОЖЕНИЕ. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

В атом разделе дан краткий обзор тех аспектов линейной алгебры, которые существенны данной книги. Ниже мы считаем, что R — коммутативное кольцо типа или

Матричное умножение

Вектор-строка, или просто вектор, это строка элементов из кольца т.е. Вектор-столбец, или транспонированная вектор-строка, — это столбец элементов из т.е.

Матрица А размера — и то прямоугольный массив из элементов кольца R, где m — количество строк, — количество столбцов, т.е.

который можно представлять как набор вектор-строк, расположенных в столбец, или как набор вектор-столбцов, расположенных в строку. Транспонированная -матрица — это -матрица, полученная из исходной превращением строк в столбцы (или столбцов в строки).

Данные вектор-строку из элементов (расположенную слева) и вектор-столбец с таким же количеством элементов (расположенный справа) можно перемножить и получить элемент из т.е.

В качестве примера рассмотрим случай тогда

По данным -матрице А (расположенной слева) и -элементному вектор-столбцу (расположенному справа) можно сформировать произведение рассматривая матрицу как набор из -элементных вектор-строк и выполняя умножений вектор-строк матрицы А на Результат, — это вектор из m элементов. Например,

Если даны -матрица А (слева) и -матрица В (справа), то мы можем перемножить их, рассматривая А как набор -элементных строк, как набор -элементных столбцов. Результат — это -матрица АВ, где элемент в i-й строке и столбце получен перемножением i-й строки матрицы А и столбца матрицы В. Например,

Следует отметить, что порядок, в котором перемножаются матрицы (т.е. которая из матриц стоит слева, а которая — справа), очень важен. Существуют случаи, когда невозможно перемножить две матрицы, если поменять их порядок (читателю нужно построить пример); даже когда перемножение мажет быть выполнено в любом порядке, результат может быть различным; так, например,

Если А — матрица произвольного размера (в частности, вектор-строка или вектор-столбец) и s — элемент из кольца т.е. скаляр,

то мы определяем матрицу «А как матрицу, в которой каждый элемент матрицы А умножается на s. Например,

В частности,

Для двух данных векторов положим Аналогично можно складывать две матрицы А и В одинакового размера, понимал их как последовательность вектор-строк, т.е.

Отметим, что сумма имеет смысл, только если А и В имеют одинаковую «форму». В частности, сумма определена, если А, В — квадратные -матрицы.

Пусть — множество (квадратных) -матриц с элементами из множества R. Пусть 0 есть -матрица, полностью состоящая из нулей. Тогда очевидно, что для любой -матрицы А. Кроме того, пусть

тогда для любой -матрицы А. Имеет место следующая

Теорема А.1. Если R — коммутативное кольцо с единицей, то — кольцо с единицей.

Доказательство. Доказательство заключается в проверке набора аксиом и оставляется читателю в качестве упражнения.

Заметим, что кольцо имеет делители нуля при любых 2. Например, при рассмотрим

Кроме того, как будет видно ниже, для любого существуют ненулевые -матрицы, не имеющие обратных.

Линейные уравнения

Матрицы и векторы — это удобный способ описывать системы линейных уравнений. Рассмотрим следующую систему из уравнений с неизвестными:

Эта система уравнений называется однородной, если и неоднородной в противном случае.

Мы можем также рассматривать последнюю систему как равенство вектор-столбцов, как два вектор-столбца равны в точности тогда, когда равны их соответствующие компоненты. Таким образом, мы можем переписать (ЛУ) любым из следующих двух способов.

(1) Используя определение сложения и умножения на скаляр вектор-столбцов, (ЛУ) можно записывать как

Это означает, что решить первоначальную систему — то же самое, что записать вектор в виде линейной

комбинации (т.е. суммы произведений на скаляр) векторов

(2) Заметив, что левая часть — это произведение матрицы А коэффициентов исходной системы на вектор (ЛУ) можно записывать как где и

Пример. Система уравнений

может быть записана как

или как

Предположим теперь, что для системы уравнений существует -матрица обратная к А, такая, что Если мы найдем такую матрицу А то будет решением системы уравнений. Таким образом решение системы уравнений тесно связано с нахождением обратной матрицы. Например, матрица

оказывается, имеет обратную

так что

Определители и обратные матрицы

Рассмотрим квадратную -матрицу

где А — просто таблица чисел и как таковая не имеет численного значения. Мы намерены присвоить матрице А численное значение следующим образом:

(1) Выберем какой-нибудь элемент в первой строке, какой-нибудь элемент во второй строке, лежащий не в том же столбце, какой-нибудь элемент в третьей строке в столбце, отличном от первых двух, и так далее, пока не получим чисел, никакие два из которых не лежат в одной строке или столбце; образуем все возможные такие группы чисел. Например, для данной -матрицы

мы имеем следующие возможности:

Перестановка указывает на порядок вторых индексов, когда первые индексы расположены в естественном порядке

(2) Вычислим количество инверсий для каждой перестановки, т.е. вычислим количество перемен местами двух соседних чисел, необходимых для приведения перестановки к естественному порядку. Это может быть легко сделано следующим образом: для каждой перестановки, двигаясь слева направо, считаем, сколько чисел справа меньше, чем рассматриваемое. Например, для перестановки 3 12 мы имеем потому что 3 имеет два меньших числа справа, таких не имеют. Таким образом, число инверсий для равно 2; аналогично для оно равно

(3) Теперь численное значение, соответствующее А, — это сумма

где суммирование ведется по всем i от 1 до , каждое слагаемое в сумме есть произведение элементов, выбранных выше на шаге 1, и — число инверсий в соответствующей перестановке. (Мы имеем слагаемых.)

Пример. Лано Найдем а также выясним, прибавляется этот член или вычитается. Для нахождения мы просто переставим элементы так, чтобы первые индексы были расположены в естественном порядке: Теперь ясно, что Член вычитается, потому что

Определение Дана квадратная -матрица А. Ее определитель — это

где суммирование ведется по всем перестановкам из элементов, число инверсий в соответствующей перестановке.

Иногда определитель также записывается как или кроме того, можно рассматривать как сумму произведений элементов из одной строки или столбца матрицы А на соответствующие алгебраические дополнения. Алгебраическое дополнение элемента — это определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием i-й строки и столбца, умноженный на (см. также определение ). Для случая который

рассматривался выше, мы имеем (см. также теорему А.9).

Для случая мы имеем

Если А — треугольная матрица, т.е. матрица вида

то

Если А есть -матрица с элементами из кольца R, то иногда она имеет обратную, -матрицу такую, что Хорошо известная теорема линейной алгебры утверждает, что существует тогда и только тогда, когда — обратимый элемент кольца R. В частности, для -матриц, если определитель А обратим, то обратная к А матрица может быть найдена следующим образом. Если

принадлежит R, то

что легко проверяется. Для матриц А порядка или больше формула для нахождения обратной к А матрицы через определители слишком сложна, чтобы приводить ее здесь. Однако мы можем найти обратную к -матрице А, если она существует, используя операции над строками.

Элементарные операции над строками

Метод исключения Гаусса — наиболее полезная техника, когда используются только элементарные операции над строками. Существуют три такие операции:

(1) Перестановка двух строк матрицы.

(2) Умножение строки на обратимый скаляр.

(3) Прибавление к строке другой строки, умноженной на скаляр.

Эти операции над строками соответствуют действиям, которые можно выполнять над системой уравнений, не изменяя решений этих уравнений. Если А есть -матрица с элементами из поля R, то, используя операцию (3), можно получить в матрице нулевые элементы и преобразовать ее к ступенчатой форме по строкам. Следующие примеры — это матрицы такого вида:

Мы можем найти обратную к -матриде А, если она существует, решая относительно уравнение

где — это -матрица, левая часть которой есть А, а правая часть — единичная -матрица I, и где у — векторы неизвестных. Если ступенчатая форма -матрицы имеет вид (I, В), т.е. самых левых столбцов ступенчатой формы -матрицы образуют единичную -матрицу I, то

тогда и только тогда, когда В — матрица, обратная к А. Поэтому, для того чтобы вычислить обратную к А матрицу, записываем рядом и производим операции над строками всей этой матрицы, пытаясь преобразовать А в I. Если это удается, то теми же операциями над строками матрица I переводится в

Пример. Вычислим матрицу, обратную к

Конечно, у нас есть формула, чтобы получить для этой матрицы, но тот же результат получается применением операций над строками

т.е.

Далее мы приводим некоторые теоремы, иллюстрирующие действие операций над строками на определитель; их доказательства мало познавательны, и мы их опускаем. (Их можно найти в большинстве книг по линейной алгебре.)

Теорема А.З. Если любые две строки (или столбца) определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.

Чтобы убедиться в справедливости этой теоремы, рассмотрим

Тогда Сделайте то же для столбцов.

Теорема Если все элементы строки (или столбца) определителя умножить на к, то определитель умножится на

Сравните

Очевидно, что принимая во внимание, что Аналогично проводится проверка для столбцов.

Теорема Если две строки (или столбца) определителя равны, определитель равен 0.

Рассмотрим

Теорема Если одну строку (или столбец), умноженную на число, прибавить к другой строке (или столбцу) определителя, то его значение не изменится.

Рассмотрим, например,

Тогда Повторите то же самое для столбцов.

Наконец, справедлива следующая

Теорема (перемена местами строк и столбцов). Если строки определителя сделать столбцами, а столбцы — строками (в том же порядке), то определитель не изменится.

(Другими словами, определитель матрицы, транспонированной к А, равен определителю матрицы А.) То есть

Разложение определителя по строке или столбцу

Из предыдущего примера видно, что мы можем легко вычислить значение определителя -матрицы. Но что можно сказать об определителе -матрицы или, в общем случае, -матрицы? Ниже мы дадим ответ на этот вопрос.

Определение Даны -определитель и его элемент Мы назовем минором элемента определитель размера полученный вычеркиванием из матрицы строки и столбца. Минор обозначается через Алгебраическим дополнением элемента мы назовем

Сформулируем основной результат.

Теорема Если дан -определитель то

Пример. Чтобы вычислить значение определителя

мы воспользуемся теоремой и, разлагая по первой строке, получим

откуда легко получить шесть слагаемых, которые мы видели ранее. Мы можем также разложить определитель по столбцу.

Подпространства, базисы и размерность

Если V — поле, то мы обозначаем через множество всех элементы которых лежат в V. Операции сложения и скалярного умножения в определяются следующим образом:

для s из V. Эти операции превращают в то, что называется векторным пространством.

Подмножество S векторного пространства называется подпространством, если всякий раз, когда у принадлежат S, то же верно и для их линейной комбинации, т.е. для любых из поля V. В этой книге основные примеры пространств — нуль-пространства и пространства строк -матриц.

Пусть А есть -матрица. Нуль-пространство матрицы А — это множество S всех из таких, что Если рассматривать А как матрицу коэффициентов системы однородных

уравнений, то нуль-пространство матрицы А — это множество решений соответствующих уравнений. Множество S является подпространством пространства потому что, если решения, то решением будет и любая их линейная комбинация: если — произвольные элементы поля V, то

(Заметим, что множество векторов таких, что для фиксированного не является подпространством, потому что если то , а не .

Базис векторного пространства S — это множество векторов из S, такое, что любой вектор а из S может быть записан в виде линейной комбинации векторов притом единственным способом. Существует эквивалентный способ определения базиса: мы говорим, что пространство S натянуто на множество векторов из S, если любой вектор из S может быть записан в виде линейной комбинации векторов (не обязательно однозначно), и мы говорим, что векторы линейно независимы, если единственным решением уравнения

является решение Тогда базис пространства S — это множество линейно независимых векторов, на которые натянуто

Если S — нуль-пространство матрицы А, то, как мы видели в разд. 6.2.4, базис пространства S находится путем приведения А к ступенчатому виду (по строкам) с помощью алгоритма NS из разд. 6.2.4.

В общем случае у пространства есть много различных базисов. Однако хорошо известная теорема утверждает, что все базисы пространства S содержат одно и то же число векторов. Размерность пространства равна числу векторов в любом базисе этого пространства. Так, размерность пространства равна .

Пространство строк -матрицы А — это множество всех , являющихся линейными комбинациями строк матрицы А. Легко убедиться, что если мы выполним элементарную операцию над строками матрицы А, то пространство строк новой матрицы совпадет с пространством строк матрицы А. Поскольку ступенчатая форма матрицы А, получается последовательностью

элементарных операций над строками, пространство строк матрицы совпадет с пространством строк матрицы А.

Легко проверяется, что ненулевые строки ступенчатой формы матрицы А составляют базис пространства строк матрицы А. Поэтому число ненулевых строк в ступенчатой форме матрицы А равно размерности пространства строк матрицы А. Эта размерность называется рангом (по строкам) матрицы А, и хорошо известная теорема утверждает, что для -матрицы А ее ранг в сумме с размерностью ее нуль-пространства дает , число столбцов матрицы А.