Главная > Основы компьютерной алгебры с приложениями
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

6.1.2. Общая схема «окольного» метода разложения над кольцом целых чисел

В этом разделе мы дадим краткое описание различных шагов, включенных в «окольный» метод, показанный на рис. 6.1.1; детальное описание некоторых шагов приводится в следующих разделах; см. также (Lazard, 1982; Moenck, 1977) (для случал многих переменных см. (Wang, 1978)).

Предположим, что дан полином , т. е.

который следует разложить на множители. Мы хотим найти неприводимые сомножители этого полинома. Прежде всего заметим, что без потери общности можно считать, что поскольку в противном случае можно положить и умножить получающийся полином на Таким образом мы получаем нормированный полином с целыми коэффициентами, задача разложения которого эквивалентна задаче разложения на множители полинома , т.е. если , то разложение полинома имеет вид Рациональное число исчезнет после того, как мы разделим на как можно больше сомножителей и/или выделим содержание сомножителей. В качестве первого примера рассмотрим полином Тогда

Разложение на множители полинома получается следующим образом:

где рациональное число 1/2 в этом случае домножается на 2 (содержание второго сомножителя).

В качестве второго примера того же процесса рассмотрим полином . Тогда

Разложение на множители полинома получается следующим образом:

где в этом случае рациональное число умножается на , что соответствует делению на 112 обоих сомножителей и выделению в обоих сомножителях содержания.

Таким образом мы предполагаем, что полином нормирован. (Это ограничение снимается в разд. 6.3.) Ниже излагаются основные шаги «окольного» метода разложения на множители над целыми числами (Musser, 1971, 1975 и 1978):

1. Прежде всего исключаем из нетривиальные сомножители нулевой степени и кратные сомножители, что достигается вычислением наибольших общих делителей в Z и (Другими словами, мы вычисляем примитивный свободный от квадратов полином; читателю следует по этому поводу освежить в памяти разд. 3.2.4.) В качестве результата мы получаем нормированный свободный от квадратов полином где все — различные неприводимые полиномы. Наша цель состоит в вычислении этих q сомножителей

2. Выбираем простое число , такое, что разложение на множители в возможно. Первое требование к выбору числа заключается в том, чтобы полином полученный на шаге 1, имел ту же самую степень и оставался свободным от квадратов по модулю . Поскольку полином нормирован, не делит его старший коэффициент, и, следовательно, степень остается той же самой по модулю ; см. также теорему 3.2.16. Кроме того, мы мажем эффективно проверить, является ли полином свободным от квадратов, проверив равенство обозначает производную полинома Справедливость этого утверждения следует из того, что если , то является кратным полинома Поэтому если , то мы знаем, что свободен от квадратов, в то время как если то нам нужно разложить на множители наконец, если

, то и нам нужно разложить на множители Дальнейшие детали см. в разд. 6.2.1. Размер используемых простых чисел также является существенным фактором при выборе алгоритма разложения в . Применение больших простых чисел сократило бы количество шагов гензелева подъема (описанных в разд. 6.3), необходимых для подъема разложения из до . Однако эффективные алгоритмы разложения на множители в имеются только для малых (Berlekamp, 1970). Третье главное требование к выбору числа — это число сомножителей в полном разложении по модулю . Если неприводимый полином, но по модулю расщепляется на неприводимых сомножителей (для объяснения этого явления см. шаг 3), то в конце подъема мы получаем сомножителей и в итоге подмножеств сомножителей должно рассматриваться на шаге 5, описанном ниже, для определения истинных сомножителей полинома над целыми числами. (Именно из-за этого максимальное время работы алгоритма оказывается экспоненциальным.) Некоторое упрощение задачи получается, если разложить на множители по модулю нескольких простых чисел для которых полином остается свободным от квадратов, и выбрать из них в качестве число, дающее наименьшее число неприводимых сомножителей.

3. Для простого числа , выбранного выше, мы получили разложение на множители в

В разд. 6.2 мы рассматриваем способы получения такого разложения. Заметим, что число q истинных сомножителей полинома над кольцом целых чисел (шаг 1) не обязательно равно числу сомножителей полинома по модулю например, Интересно, что существуют полиномы, неприводимые над целыми числами, которые могут быть разложены на множители по модулю для любого простого . Например, для любых целых чисел а, b и любого простого числа полином разлагается на множители в Чтобы убедиться, что полином разлагается на множители в для любого простого , рассмотрим прежде всего случай Тогда для любых целых чисел а, b имеются следующие четыре возможности: или или

или . Очевидно, что каждый из них приводим по модулю 2. В общем случае, когда — нечетное простое число, выберем с, такое, что . Тогда , и мы имеем три следующие возможности:

Ясно, что для доказательства разложимости по модулю достаточно показать, что хотя бы одно из чисел является квадратом будет тогда разностью двух квадратов]. Пусть d — примитивный корень по модулю (см. теорему 2.3.20). Если не являются квадратами , то , где оба нечетны. Взяв произведение где теперь четное число, видим, что квадрат . Пусть ; тогда и мы видим, что квадрат . Таким образом, разлагается на множители в по модулю любого простого . Пользуясь критерием Эйзенштейна (теорема 3.2.15), мы легко можем построить полином вида , неприводимый над целыми числами, который разлагается на множители для каждого простого . В качестве примера рассмотрим . В качестве упражнения читателю остается доказательство того, что при полином неприводим над целыми числами.

4. Используя построения гензелева типа (рассматриваемые в разд. 6.3), мы поднимаем полиномы полученные на шаге 3, до соответствующих полиномов таких, что

для достаточно большого положительного целого числа j (это будет разобрано в разд. 6.3). Теперь каждый истинный сомножитель полинома соответствует или отдельному полиному или произведению некоторых из них. Это соответствие выявляется на шаге 5.

5. Здесь мы разбиваем множество полиномов на подмножества , такие, что

Истинные сомножители полинома над целыми числами определяются тогда пробным делением. [То есть получив на предыдущем шаге сомножители полинома мы должны рассмотреть каждое сочетание этих сомножителей, проверяя делением, является ли их произведение по истинным сомножителем; если найден истинный сомножитель, то полагаем и удаляем соответствующие значения из списка. Необходимо рассмотреть только те сочетания, для которых степень

Анализ времени работы «окольного» метода разложения. Выше мы уже видели, что в худшем случае окольный метод разложения имеет экспоненциальное время работы, поскольку может быть так же велико, как и , и потребуется выполнить большое число пробных делений (а именно ). Однако, как мы сейчас убедимся, в среднем и поскольку среднее значение величины приблизительно равно среднее время вычислений окольного алгоритма полиномиально. (Среднее значение выражения получается с помощью производящих функций и здесь не обсуждается.)

Чтобы убедиться, что рассмотрим эквивалентную задачу определения среднего числа циклов в -перестановках (тот же самый результат может быть получен с помощью производящих функций). Эквивалентность этих задач была установлена в 1880 г. Г. Фробениусом (Knuth, 1981, р. 632).

Таким образом имеет место

Теорема 6.1.1. Среднее число .-циклов в -перестановках равно (не зависит от ).

Локазательство. Пусть с — произвольный фиксированный -цикл. Пусть — любая -перестановка, под действием которой элементы цикла с остаются неподвижными. Пусть с; очевидно, что с является -циклом перестановки с.

Перестановка является взаимно однозначным отображением из множества всех -перестановок на множество всех -перестановок, содержащих цикл с. Поэтому существует

-перестановок, содержащих с в качестве -цикла. Мы можем способами выбрать j элементов -цикла с, затем мажем () способами сформировать из этих j элементов -цикл. Следовательно, число -циклов с равно

В сумме общее число вхождений -циклов во все -перестановки равно

и, разделив его на общее число -перестановок, получаем нужный результат.

Следствие 6.1.2. Среднее число циклов в тг-перестановке равно

где есть гармоническое число, приблизительно равное

Ниже, в разд. 6.2, мы рассмотрим разложение на множители полиномов над конечным полем, а в разд. 6.3 — процесс подъема. [Представляют интерес работы (Butler, 1954; Calmet

1
Оглавление
email@scask.ru