Упражнения

Раздел 5.1.1

1. Вычислите псевдочастное и псевдоостаток если Чему равен их наибольший общий делитель? Сделайте то же самое для полиномов

2. Пусть — псевдоостаток от псевдоделения полинома на . Докажите, что если то — кратное полинома

Раздел 5.1.2

1. Опишите своими словами различие между М и

2. Используя один из модулярных алгоритмов вычисления описанных в тексте, вычислите наибольший общий делитель полиномов:

Раздел 5.2.1

1. Пользуясь теоремой 5.2.1 и следующими примерами этого раздела, вычислите последовательность полиномиальных остатков для полиномов:

Раздел 5.2.2

Упр. 1 чрезвычайно важно для досконального понимания следующего раздела; однако оно слишком длинное и трудоемкое (для проверки арифметических вычислений пользуйтесь системой компьютерной алгебры).

1. Используя матрицу, соответствующую результанту где и метод, кратко описанный в тексте, вычислите члены (неполной) последовательности полиномиальных остатков. Какой вывод вы макете сделать? (Указание. Следуйте примеру, предшествующему теореме 5.2.4.) Сравните PRS, полученную таким образом, с PRS, полученной методом Сильвестра.

2. Из теоремы 5.2.4 видно, что результант может быть вычислен с помощью того же самого процесса, который используется для нахождения наибольшего общего делителя двух полиномов. Найдите результант полиномов

3. Докажите теорему 5.2.9.

4. Вычислите дискриминант полинома

Дополнительные формы результанта (известные также как элиминанты) (см. с. 31-42 в книге Salmon G. Modem Higher Algebra. Hodges, Smith and Co., Dublin, 1859).

5. Докажите основное предложение теории исключения (см. также приложение): Дана система однородных линейных уравнений от неизвестных, Эта система имеет нетривиальное решение (т.е. отличное от тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов А обращается в нуль (т.е. ).

6. (Результант в форме Эйлера.)

a. Пусть — два полиномиальных уравнения степеней тип соответственно. Если полиномы имеют общий сомножитель, произведение на оставшиеся сомножители полинома равно произведению на оставшиеся сомножители полинома Используйте этот факт и упр. 5, чтобы получить детерминантную форму результанта полиномов (Указание. См. обсуждение, следующее за теоремой 5.2.4.)

b. Пусть — два полиномиальных уравнения, оба степени 2. Используя (а), вычислите детерминантную форму результанта.

7. (Диалитическое разложение Сильвестра; результаты совпадают с результатами Эйлера. Историческое замечание: в тексте получающийся определитель мы называем по имени итальяно-французского математика Ди Брюно.) Основная идея здесь — рассматривать все индивидуальные мономы (термы) полинома как независимые переменные (например, берутся как независимые переменные). Порождается некоторое число дополнительных уравнений простым умножением исходных уравнений на хорошо подобранные мономы, так что общее число уравнений равняется общему числу мономов, а затем применяется упр. 5.

а. Пусть — два полиномиальных уравнения степеней тип соответственно. Домножим (степени ) на (степени ) на таким образом, мы получим уравнений неизвестных или, эквивалентно, уравнение где матрица с строками

и столбцами. Примените упр. 5, чтобы получить детерминантную форму результанта полиномов

b. Пусть — два полиномиальных уравнения, оба степени 2. Используя п. а, вычислите детерминантную форму результанта; чем она отличается от формы

8. (Результант в форме Безу.) Здесь мы применяем те же основные идеи, что и в упр. 7, т.е. из исходных двух полиномов мы формируем множество s уравнений от s неизвестных. Определитель теперь имеет меньше элементов, чем раньше, но каждый элемент получается более сложным способом. Этот подход лучше объяснить на примере, а. Пусть — два полинома степени 3. Наша цель — получить три уравнения от независимых переменных и 1. После умножения на а, на о и вычитания первые слагаемые в каждом полиноме взаимно уничтожатся. Если мы воспользуемся обозначением то первое уравнение —

Затем, после умножения на на и вычитания первые два слагаемых в каждом полиноме взаимно уничтожатся, и мы получаем уравнение

Подобным же образом мы получаем последнее уравнение

Ясно, что мы получили уравнение где матрица с 3 строками и столбцами. Примените теперь упр. 5, чтобы получить

детерминантную форму результанта полиномов

b. Пусть — два полиномиальных уравнения, оба степени 2. Используя п. а, вычислите детерминантную форму результанта; что случится, если степени не совпадают?

9. (Вариант Кэли метода Безу.)

Все необходимые дополнительные полиномы порождаются теперь за один проход, без необходимости находить дополнительные множители. Как и ожидается, снова применяется упр. 5. а. Пусть — два полиномиальных уравнения степеней тип соответственно. Заметим, что если имеют общий корень то он будет корнем уравнения

для любого значения а. Это уравнение удовлетворяется при (даже если нет общего корня), поэтому выписанное выражение должно содержать в качестве сомножителя. Разделив это выражение на , мы получим полином с мономами от где коэффициент при каждом мономе является полиномом от . В общем корне полученное выражение должно обращаться в нуль при любом значении а, поэтому коэффициент - полином от должен обращаться в нуль при Имеется коэффициентов от переменных, и это — в точности полиномы, необходимые для построения результанта в форме Безу, разумеется, используя упр. 5.

Пример. Пусть с — два полиномиальных уравнения, оба степени 2. Снова используя обозначение мы получаем

Для того чтобы, существовал общий корень, все коэффициенты полинома от а должны быть равны нулю, т.е. мы имеем уравнение где а элементы матрицы А суть (первая строка) и (вторая строка), и, применяя упр. 5, мы получаем результант.

b. Пользуясь подходом Кэли, вычислите детерминантную форму результанта полиномов

10. Докажите, что если каждый элемент в какой-либо (или в каком-либо столбце) представить в виде суммы двух других, то определитель разлагается в сумму двух других; т.е.

11. В этой задаче мы увидим, как из уравнений с членами получить уравнение с членами. Рассмотрим четыре уравнения степени 4

где — неизвестные. Из этих четырех уравнений можно ислючить любые три неизвестные, оставив одно уравнение от оставшихся двух неизвестных. Предположим, что мы хотим получить из единственное уравнение, которое выполняется, когда выполняются исходные четыре уравнения, но которое не содержит мономов Пользуясь упр. 10, докажите, что требуемое уравнение получается из

Раздел 5.2.3

1. Докажите формулы этого раздела.

2. Примените расширенный алгоритм Евклида для полиномов над целыми числами к полиномам и сравните ваш ответ с ответом, полученным в примере,

следующем за теоремой 5.2.11. Что вы можете сказать о последнем члене PRS?

3. Завершите вычисления в последнем примере этого раздела.

4. Используйте формулы в чтобы вывести выражение (Н) из разд. 5.1.1.

Раздел 5.3.1

1. Определите наибольший общий делитель полиномов пользуясь процессом гауссова исключения вместо псевдоделения.

2. Сделайте то же самое для полиномов .

Раздел 5.3.3

1. Используя метод, кратко описанный в тексте, завершите первый пример этого раздела, т.е. определите, чему равен полином

2. Следуя первому примеру этого раздела, вычислите последовательность полиномиальных остатков для следующих пар полиномов: