ПРЕДИСЛОВИЕ

Памяти моего отца

Компьютер прежде всего является устройством для обработки информации, а что представляет из себя эта информация — не столь важно. Компьютеры нужно было «научить» выполнять арифметические операции, чтобы они стали «переваривать» числа. Деловой мир породил текстовый процессор, который «переваривает» слова. А теперь существует и возможность «переваривать» символы — компьютерная алгебра. Имея дело в основном с точными числами и алгебраическими выражениями в их символьном представлении, системы компьютерной алгебры могут помочь ученым лучше представить себе изнутри различные рассматриваемые физические явления.

Компьютерная алгебра отличается от численного анализа, где упор делается на ошибки, которые могут появиться при выполнении некоторого алгоритма. Эти ошибки, усечение и округление, возникают из-за использования арифметики с плавающей точкой одинарной и двойной точности. В общем, чем меньше итоговая ошибка, тем лучше алгоритм.

Начиная с 1960 г. было разработано много программных систем, предназначенных для различного рода символьных вычислений; эффективность и возможности этих систем постоянно возрастают и в будущем можно ожидать расширения их использования. Операции над полиномами и рациональными функциями составляют основу любой системы символьных преобразований, поэтому исследования в этой области включают в себя развитие и анализ эффективных алгоритмов для разложения на множители, вычисления наибольших общих делителей и отделения вещественных корней полиномов.

Компьютерная алгебра включает в себя большое количество различных тем, а поскольку она до настоящего времени находится в стадии развития, к имеющемуся списку тем постоянно добавляются новые. В книге нашли отражение только те темы, которые автор считает «классическими», которые можно использовать как справочное пособие для исследователей и в качестве руководства при обучении численным методам, информатике или математике. Поскольку в курсах численного анализа и компьютерной алгебры существует очень мало общих тем (если таковые вообще имеются), эта книга может послужить основой курса, дополнительного или альтернативного курсу численного анализа.

При преподавании математики, с одной стороны, эта книга дает прекрасное средство обучения как теории, так и приложениям алгебры и эффективного соединения традиционной алгебры с информатикой. С другой стороны, студент, специализирующийся в области информатики, изучая компьютерную алгебру, использует большое число понятий, освоенных в предыдущих курсах, и осознает красоту работ некоторых гигантов-математиков предыдущих столетий (Галуа, Гензеля, Лагранжа, Штурма, Сильвестра и Винсента, если перечислить лишь немногих из них), чей фундаментальный подход к вычислениям не Может уложиться в рамки численного анализа, но весьма напоминает то, что современные исследователи пытаются сделать, используя компьютерную алгебру.

Основные результаты, впервые опубликованные в этой книге

(1) Лучшая версия метода вычисления субрезультантных последовательностей полиномиальных остатков, разработанная автором в 1986 г. на основе статьи Сильвестра (Sylvester, 1853).

(2) Показаны значимость теоремы Бюдана и ее связь с теоремой Фурье.

(3) Самый быстрый из существующих методов отделения вещественных корней полиномиального уравнения, разработанный автором в 1978 г. на основе теоремы Винсента (Vincent, 1836).

Чего нет в этой книге

В этой книге главное — не доказательства; доказательства включены только в тех случаях, когда они помогают лучшему пониманию материала или их можно найти лишь в научных журналах. Эта книга и не о структурах данных; на ее основе может быть разными способами выполнена реализация различных алгоритмов, описанных в ней, но это оставлено преподавателю и изобретательности студентов.

Основой для данной книги послужил куре «Компьютерная алгебра» для студентов старших курсов и аспирантов, который я читал как в Канзасском университете, США, так и в Национальном трхничпгком униисрситете Афин, Греция. Курс был успешно вомпринят студентами, специализирующимися в области информатики, математики, электротехники и вычислительной техники.

Что касается предварительной подготовки — желательно, но не обязательно прослушать хороший курс по структурам данных, а также курс по современной и/или линейной алгебре.

Материал в данной книге разделен на три части:

(1) Часть I является вводной и состоит из гл. 1, объясняющей, что такое компьютерная алгебра.

(2) Часть II содержит основные математические результаты и базисные алгоритмы. Поскольку компьютерная алгебра имеет дело в основном с целыми числами и полиномами с целыми коэффициентами, в гл. 2 описываются основные свойства целых чисел, а в гл. 3 — полиномов.

(3) В части III мы находим приложения идей, развитых в предыдущих частях, а также более специальные разделы, а именно гл. 4 посвящена кодам, исправляющим ошибки, и криптографии, гл. 5 — вычислению полиномиальных наибольших общих делителей и последовательностей полиномиальных остатков, гл. 6 — разложению на неприводимые множители полиномов с целыми коэффициентами, а гл. 7 — отделению и аппроксимации вещественных корней полиномиальных уравнений.

Отбор преподавателем материала имеет очень большое значение, поскольку я обнаружил, что даже не приближаюсь к тому, чтобы за семестр охватить весь этот материал. Разумный подход состоит в том, чтобы детально разобрать ч. I (введение) и II (основные математические результаты и базисные алгоритмы), а затем некоторые разделы из ч. III (приложения и специальные разделы), насколько позволит время, имея в виду, что разд. 7.2 зависит от разд. 5.2. Наконец, настоятельно рекомендуется в таком курсе использовать систему компьютерной алгебры maple.

Я благодарен моему редактору Марии Тейлор и всему коллективу издательства John Wiley за наше чудесное сотрудничество.

Я благодарю Замира Бавеля, моего коллегу и друга из Канзасского университета за ценные советы, Манолиса Протонотариоса, председателя Отделения электротехники и вычислительной техники Национального технического университета Афин, за предоставленную мне возможность прочитать курс компьютерной алгебры в Греции и мою мать, взявшую на себя заботу обо всем во время моей работы над книгой в Греции.

Алхивиядис Г. Акритас

Канзасский университет