3.6. Двумерное ДПФ

Дискретное преобразование Фурье можно обобщить на случай многих измерений, причем наиболее полезным оказывается обобщение на случай двух измерений, поскольку оно широко применяется при обработке изображений [10]. Двумерное ДПФ определяется следующим образом:

(3.6.1)

где и изменяются в пределах от 0 до , . Массив данных образует матрицу размером т. е.

(3.6.2)

Рассмотрим в выражении (3.6.1) внутреннюю сумму, которая определяется как

(3.6.3)

Из выражения (3.6.3) следует, что правая часть представляет собой ДПФ каждого столбца матрицы данных . Поэтому введем обозначения

(3.6.4)

Коэффициенты в выражении (3.6.4) можно записать в форме матрицы размером :

(3.6.5)

В результате подстановки (3.6.4) в выражение (3.6.1) получаем

(3.6.6)

Это означает, что коэффициенты получаются путем вычисления ДПФ каждой строки матрицы , определенной выражением (3.6.5). В результате получается множество

из коэффициентов, которые могут быть также записаны в виде матрицы

(3.6.7)

Из приведенных выше рассуждений следует, что двумерное ДПФ в выражении (3.6.1) можно рассматривать как -кратное использование одномерного ДПФ при следующих условиях.

i. При ДПФ в выражении (3.1.1) используется раз для получения коэффициентов , определенных выражением (3.6.5).

ii. При ДПФ в выражении (3.1.1) используется раз для получения коэффициентов , определенных выражением (3.6.7).

В заключение отметим, что вследствие утверждений i и ii выражение (3.6.1) можно записать в виде следующего матричного соотношения:

(3.6.8)

где — матрица размером , элементами которой являются ; — матрица размером , элементами которой являются и .