ЗАДАЧИ

7.1. Запишите алгоритм Кули—Тьюки для вычисления обратного преобразования Адамара при .

7.2. Нарисуйте граф, соответствующий вычислению пилообразного преобразования при . С его помощью вычислите пилообразное преобразование последовательности

7.3. Пользуясь (7.7.5) и (7.7.6), получите выражение (7.7.1).

7.4. Пользуясь выражениями (7.7.1), выведите выражение (7.7.9).

7.5. Покажите, что обратное дискретное косинусное преобразование, записанное в виде (7.7.5), можно также записать в виде

где

и , а — комплексно-сопряженное число.

Примечание. Из (З7.5.1) следует, что ОДКП можно вычислить с помощью ОБПФ для массива, состоящего из дискрет.

7.6. Пусть дана последовательность

а) Пользуясь алгоритмом Эндрюса, покажите, что преобразование Адамара последовательности имеет вид

б) Убедитесь в том, что последовательность коэффициентов получается такой же при использовании алгоритма типа Кули—Тьюки.

7.7. Нарисуйте сигнальный граф для вычисления обратного пилообразного преобразования при , пользуясь графом, изображенным на рис. 7.6.

б) Пользуясь данными п. "а" и задачей 7.2, нарисуйте граф обратного пилообразного преобразования .

7.8. Матрицу обобщенного преобразования можно записать в выражениях его матричных множителей для и , т. е. (см. приложение 7.2). Основываясь на этих матричных множителях, определите множители в вершинах сигнального графа, изображенного на рис. 7.8. Сравните полученный граф с изображенным на рис. 7.1.

7.9. Матрицу преобразования можно получить рекуррентно, как показано в [6]. Опишите , пользуясь указанной ссылкой, и убедитесь в том, что эта матрица равна произведению матричных множителей, описанных в задаче 7.8.

7.10. а) Можно вывести модифицированную форму , известную под названием модифицированного обобщенного преобразования [6, 7, 27]. Матрица преобразования в этом случае определяется рекуррентной формулой

где

Подматрица описана в [6]. Получите матрицу преобразования при и , т. е. .

б) Матрицу преобразования можно также выразить через ее матричные множители, основываясь на небольшой модификации (7.2.3) (см. [7]). Пользуясь таким подходом, получите матричные множители . Пользуясь этими матричными множителями, определите множители в вершинах сигнального графа, изображенного на рис. 7.9.

Рис. 7.8. Граф обобщенного преобразования при

в) Покажите, что матрицы , полученные в п. "а" и "б".

7.11. Решите задачу 7.8 для и .

7.12. Повторите задачу 7.9 для и .

7.13. Повторите задачу 7.10 для и .

7.14. Для и получите инвариантный к сдвигу энергетический спектр и и покажите, что они совпадают (см. [4—6, 7]).

7.16. Соотношения, связывающие преобразование Хаара и ПУА с упорядочением по Уолшу, были получены Файно [28]. Убедитесь в их справедливости, рассмотрев подматрицы (см. рис. 5.5б) и подматрицы (см. выражение (7.3.2) в соответствии с [28]).

7.16. Получите и из и , пользуясь рекуррентными соотношениями Файпо [28].

7.17. Нарисуйте подобный графу на рис. 7.2 сигнальный граф, соответствующий алгоритму Эндрюса для вычисления прямого и обратного преобразования Хаара при .

7.18. Переставьте столбцы как для [см. выражения (7.4.3)] и получите граф, соответствующий алгоритму Кули—Тьюки для вычисления преобразования Хаара при (см. рис. 7.3).

7.19. Нарисуйте граф, соответствующий алгоритму Кули—Тьюки для вычисления обратного преобразования Хаара при .

7.20. а) Получите с помощью [см. выражение (7.5.7)] и рекуррентных соотношений, описанных в (7.5.8) и (7.5.9).

б) Получите матричные множители и нарисуйте граф для пилообразного преобразования. С помощью этого графа получите коэффициенты соответствующие пилообразному преобразованию последовательности описанной в задаче 7.6.

Рис. 7.9. Граф для модифицированного обобщенного преобразования , при

7.21. Нарисуйте сигнальный граф для вычисления обратного пилообразного преобразования при . Восстановите по , полученным в задаче 7.20б.