6.10. Модифицированное преобразование Уолша—Адамара МПУА)

Модифицированное преобразование Уолша — Адамара [15, 16] получается в результате простой модификации ПУА с упорядочением по Адамару. Оно представляет собой ортогональное преобразование, которое определяется как

(6.10.1)

где - вектор коэффициентов МПУА; и — матрица модифицированного преобразования Адамара. Матрицы определяются из рекуррентного отношения

(6.10.2)

где и - единичная матрица размером . Например, для выражение (6.10.2) приводит к

(6.10.3)

Поскольку матрицы ортогональны, то

(6.10.4)

Из выражений (6.10.1) и (6.10.4) следует, что обратное модифицированное преобразование Уолша — Адамара (ОМПУА) определяется как

В отличие от , матрица модифицированного преобразования Адамара является несимметричной. Вследствие этого графы МПУА и ОМПУА имеют различную структуру. В качестве иллюстрации на рис. 6.12 и 6.13 приведены графы МПУА и ОМПУА для 8. Сравнивая рис. 6.12 и 6.8, видим, что энергетический спектр ПУА с упорядочением по Адамару можно выразить с помощью коэффициентов МПУА следующим образом:

Рис. 6.11. Граф ПУА с упорядочением по Адамару для вычисления спектра мощности и фазового спектра,

Рис. 6.13. Граф ОМПУА

(6.10.6)

В общей форме выражения (6.10.6) можно записать следующим образом:

(6.10.7)

Класс циклических инвариантов , что энергетический спектр ПУА с упорядочением по Адамару имеет спектральных точек, инвариантных относительно циклического сдвига . Покажем, что спектральные составляющие ПУА с упорядочением по Адамару являются подмножеством множества инвариантов сдвига.

Рассмотрим случай , и пусть обозначает последовательность, полученную в результате циклического сдвига на l позиций влево. При получаем и, следовательно,

(6.10.8)

где определяется из выражения (6.8.1). Если через обозначить вектор коэффициентов МПУА последовательности , то

(6.10.9)

Подстановка (6.10.5) и (6.10.9) приводит к преобразованию подобия

(6.10.10)

Выражение (6.10.10) в матричном виде для записывается как

что эквивалентно

и

(6.10.12)

Поскольку каждая из квадратных матриц в выражении (6.10.12) является ортонормированной, то каждая из величин, обозначаемых и , инвариантна относительно циклических сдвигов последовательности данных :

(6.10.13)

Сравнивая выражения (6.10.13) и (6.10.6), получаем

(6.10.14)

Можно показать, что в общем виде [17] выражение (6.10.14) записывается как

(6.10.15)

Таким образом, энергетический спектр ПУА с упорядочением по Адамару эквивалентен множеству инвариантов . Из (6.10.12) следует также, что

(6.10.16)

и

Проводя вычисления в соответствии с выражениями (6.10.16) и замечая, что степени ортонормированных матриц являются также ортонормированными матрицами, получаем дополнительные сдвиговые инварианты в результате вычисления следующих поточечных произведений, где обозначает операцию поточечного умножения:

(6.10.17)

При сравнении выражений (6.10.13) и (6.10.17) можно сделать следующие выводы:

1) имеется независимых инвариантов сдвига, а именно и ;

2) вычисление включает в себя последовательные циклические сдвиги, изменения знака и определение поточечных произведений и, следовательно, может быть осуществлено быстро [18, 19].

В общем случае можно показать, что существует инвариантов сдвига в множестве , которые образуют квадратурный спектр ПУА или -спектр. Компактное выражение для -спектра может быть записано в следующем виде [18]:

и

при

(6.10.18)

В следующем параграфе -спектр будет использоваться при формулировке теоремы автокорреляции.