8.5. Оптимальные диагональные фильтры

Приведенное выше обсуждение позволяет задать естественный вопрос: «Какой вид должно иметь ортогональное преобразование Т, которое позволяет получить оптимальный диагональный фильтр ? Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме, доказательство которой может быть найдено, например, в [12]. Основным предположением, лежащим в основе доказательства, является то, что собственные значения действительной симметричной матрицы являются различными действительными числами. Заметим, что матрица отклика в (8.3.14) представляет собой действительную симметричную матрицу.

Теорема. Если и , — соответственно собственные значения и собственные векторы действительной симметричной матрицы Г, то

(8.5.1)

где — такая матрица собственных векторов, при которой , и — матрица собственных значений.

Из выражения (8.5.1) становится очевидным, что если в качестве Т выбирать матрицу собственных векторов матрицы отклика , то представляет собой требуемый оптимальный диагональный фильтр.

С целью иллюстрации приведенной выше теоремы рассмотрим простой пример. Пусть ковариационные матрицы в области оригиналов имеют следующий вид:

Тогда матрица отклика в соответствии с (8.3.14) принимает вид . Вычисляя элементы , получаем

где и . Для нахождения собственных значений запишем , что приводит к характеристическому многочлену

(8.5.2)

Решая уравнение (8.5.2), находим собственные значения и . Выполняя вычисления, можно получить, что нормированные собственные векторы, соответствующие и , имеют вид (см. задачу 8.8)

Таким образом, матрица искомого ортогонального преобразования имеет вид

Легко вычислить, что соответствующая матрица оптимального винеровского фильтра в этом случае имеет вид [см. уравнение (8.3.14)] диагональной матрицы

Приведенное выше ортогональное преобразование, базисные векторы которого являются собственными векторами заданных ковариационных матриц, называется преобразованием Карунена—Лоэва (ПКЛ).

Сделаем несколько замечаний относительно ПКЛ и ПКЛ фильтра.

1. Фильтр ПКЛ является оптимальным в смысле среднеквадратичной ошибки, которая при этом равняется и определяется выражением (8.3.21) или (8.3.22);

2. Если ПКЛ определяется заданными ковариационными матрицами, то не существует общего быстрого алгоритма для его вычисления или вычисления обратного преобразования. Это означает, что и , вычисление которых в соответствии со структурной схемой на рис. 8.1 потребует выполнения приблизительно умножений. Таким образом, общее число умножений

для получения равно .

3. По мере увеличения N задача вычисления собственных векторов быстро усложняется.

Из замечаний 2 и 3 следует, что при большом N применять ПКЛ не имеет смысла. Однако вследствие того, что это преобразование является оптимальным, его можно использовать для определения качества субоптимальных фильтров.