ЗАДАЧИ

5.1. Пусть число i записано двоичным кодом и кодами Грея . Тогда функции Уолша и можно получить с помощью функций Радемахера в следующем виде [9, 13, 14]:

Из рис. 5.3 видно, что

где и означают и соответственно. Используя приведенную выше запись, покажите, что

5.2. Можно показать, что произведение двух функций Уолша снова дает функцию Уолша [2]:

(З5.2.1)

где означает сложение по модулю 2. Из рис. 5.5б следует, что

Применяя (З5.2.1) к записанному выше множеству функций Уолша, показать, что

5.3. Рассмотрите следующие тождества:

Подставьте и для в выражение [2] и покажите, что [2]

5.4. Если и принимают значения 0, 1, ..., 7, то и (табл. З5.4.1) будут определяться из (5.4.4). С помощью данных табл. З5.4.1 и уравнений (5.4.4), (5.4.7) и (5.4.11) образовать три массива , как показано на рис. 5.8. Убедиться, что массивы 1, 2 и 3, полученные выше, совпадают с и , показанными на рис. 5.5б, 5.6б и 5.7б соответственно.

Таблица 3 5.4.1

5.5. На рис. 5.4а изображены первые восемь функций Хаара. Пользуясь уравнением (5.3.2), изобразить следующие восемь функций Хаара и получить .

Рис. 5.8

5.6. Как показано в задаче 5.1, функции Уолша можно выразить в виде произведения функций Радемахера [9, 13, 14]. На рис. 5.5а приведены первые восемь функций Уолша, упорядоченных по Уолшу. Изобразить следующие восемь функций Уолша [2, 9] и получить . Определить функции и и их частости.

5.7. Составить таблицы, подобные табл. 5.4.1 и 5.4.2, для . Изменить порядок функций Уолша, упорядоченных по Уолшу (задача 5.6), с целью получения функций Уолша, упорядоченных по Пэли и Адамару. Определить функции и и их частости. Используя первые шестнадцать функций Уолша, получить и .