10.4. Задача трех классов

В предыдущих двух параграфах рассматривались основные аспекты так называемой задачи двух классов. Распространим теперь эти понятия на более общий случай трех классов: и . Пусть обучающее множество записывается как

Из выражения (10.4.1) следует, что средние векторы образов равны

они изображены на рис. 10.5. Классификатор, работающий по минимуму расстояния, имеет следующее решающее правило: данный образ Z принадлежит , если Z ближе всего к .

Пусть обозначает расстояния образа Z от . Тогда получаем (см. рис. 10.5)

(10.4.2)

Упрощение приводит к

(10.4.3)

Очевидно, что минимально, когда величина максимальна. Поэтому вместо вычисления , по (10.4.3) проще потребовать, чтобы в классификаторе вычислялось значение .

Рис. 10.5. Двумерное пространство признаков, связанное с и

Классификатор в этом случае описывается дискриминантными функциями

(10.4.4)

Подстановка численных значений и приводит к

Таким образом, классификатор вычисляет три числа: и , как показано на рис. 10.6, и затем сравнивает их. Классификатор относит Z к классу если максимально, к классу , если максимально, и к классу , если максимально. Реализация общего линейного классификатора, работающего по минимуму расстояния для случая К классов, показана на рис. 10.7.

Рис. 10.6. Классификатор для трех классов образов, работающий по критерию минимального расстояния

Рис. 10.7. Классификатор для К классов образов, работающий по критерию минимального расстояния