§ 13. Диаграммная техника для ферми-систем

Смысл символических выражений типа (12,14) состоит в том, что они дают возможность легко написать последовательные члены разложений по степеням V. Так,

а выражение для отличается от написанного лишь отсутствием множителей под знаком Т-произведения. Как уже было указано, оператор в представлении взаимодействия получается из (7.7) заменой всех Ф на Вычисление последовательных членов разложения (13,1) сводится, следовательно, к вычислению средних по основному состоянию от Т-произведения различного числа операторов свободных частиц.

Эти вычисления в значительной степени автоматизируются с помощью правил диаграммной техники, которые, однако, существенно зависят от характера исследуемой физической системы. Излагаемая в этом параграфе техника относится к несверхтекучим ферми-системам, причем взаимодействие частиц предполагается парным и не зависящим от спинов. Соответствующий оператор взаимодействия:

где — энергия взаимодействия двух частиц (индексы (2) у V и U опускаем).

Среднее значение произведений операторов вычисляется с помощью теоремы Вика, которая гласит:

Среднее от произведения любого (четного) числа операторов и равно сумме произведений всех возможных попарных средних (сверток) этих операторов. В каждой паре операторы стоят в той же последовательности, что и в первоначальном произведении. Знак каждого члена в сумме определяется множителем где Р — число перестановок операторов, которые надо произвести, чтобы поставить рядом все усредняемые операторы.

Отличны от нуля лишь свертки, в которые входит один оператор и один в диагональном матричном элемеахе все частицы, уничтожаемые оператором , должны быть вновь рождены оператором Ясно поэтому, что среднее от произведения нескольких -операторов может быть отлично от нуля, только если в нем содержится одинаковое число операторов и

В применении к среднему от Т-произведения теорема Вика позволяет выразить его через средние от попарных Т-произведений, т. е., согласно (12,15), — через гриновские функции свободных частиц. Сделаем это для поправки первого порядка в функции Грина системы взаимодействующих частиц.

Предварительно отметим, что при раскрытии по теореме Вика выражения в числителе формулы (12,14) возникают, в частности, члены вида

в которых пара «внешних» (по отношению к S) операторов сворачивается между собой; выражение же содержит (в каждом члене его разложения) лишь свертки «внутренних» операторов между собой. Множитель целиком сокращается со знаменателем в (12,14), и, таким образом, все эти члены дают просто «невозмущенную» гриновскую функцию

Оставив в (13,1) два первых члена разложения, подставив (13,2) и переобозначив переменные, получим

где

Для большей компактности записи формул введем обозначение

Тогда

где

Чтобы усреднить по теореме Вика, выпишем отдельно операторы и изобразим все нужные варианты сверток:

Согласно сказанному выше, опущены члены, содержащие свертку Попарно сворачиваемые (соединенные дугами) операторы надо переставить к соседству друг с другом. Так, первый из написанных членов означает произведение

а последний

Свертки произведений -операторов различных аргументов заменяются согласно

Свертки же -операторов одинаковых аргументов представляют собой пространственную плотность числа частиц в идеальном газе (обозначим ее через ), понимаемую как функцию химического потенциала:

Таким образом, получим

Эти четыре члена попарно равны друг другу — они отличаются лишь обозначением переменных интегрирования . В результате множитель 1/2 исчезает и, таким образом, поправка первого порядка в функции Грина содержит всего два члена:

Структуру этих членов удобно изобразить графически с помощью следующих диаграмм Фейнмана:

На этих диаграммах сплошная линия означает свертку (т. е. функцию ); цифры указывают номера переменных от которых зависят свертываемые операторы, а направление стрелки отвечает направлению от к в свертке.

Свертка двух операторов, зависящих от одних и тех же переменных (т. е. плотность ), изображается соответственно петлей сплошной линией, «замкнутой на себя». Пунктирная линия означает множитель По всем переменным, обозначенным у внутренних точек диаграммы (точки пересечения линий), подразумевается интегрирование. Переменные обозначенные у «внешних концов» диаграммы, остаются свободными.

Члены первого порядка, происходящие из (13,3), изобразились бы диаграммами, распадающимися на две отдельные части прямой отрезок и фигуру с замкнутыми петлями сплошных линий, например,

Вдумавшись в способ свертывания операторов и структуру соответствующих диаграмм, можно понять происхождение общего правила: во всех порядках теории возмущений роль множителя в (12,14) сводится к тому, что должны учитываться лишь «связные» диаграммы с двумя внешними концами, не содержащие «отсоединенных» петель без внешних концов, не связанных с другими частями диаграммы ни сплошными, ни пунктирными линиями аналогичную ситуацию в квантовой электродинамике — IV § 100).

Сокращение коэффициента 1/2 в (13,6) есть проявление общего правила: не надо учитывать (в членах порядка) множитель происходящий от разложения (13,1), и множитель возникающий от коэффициентов 1/2 в (13,2). Действительно, диаграммы n-го порядка содержат по пунктирных линий Множитель сокращается от приведения членов, отличающихся перестановками пар чисел i, k между всеми пунктирными линиями. Множитель же сокращается от перестановок чисел i, k между концами каждой из этих линий.

Окончательные правила диаграммной техники мы сформулируем для вычисления функции Грина не в координатном, а сразу в импульсном представлении, наиболее важном для физических применений.

Переход к импульсному представлению осуществляется путем разложения Фурье которое запишем в «четырехмерном» виде

где 4-импульс , а . Аналогичным образом разложим также и потенциал взаимодействия:

где при этом совпадает с компонентой трехмерного разложения

(13,10)

Ввиду четности функции очевидно, что .

Произведем это разложение для поправки первого порядка Для этого умножаем равенство (13,6) на и интегрируем его по

В первом члене пишем

и, заменив переменные интегрирования, получаем

Первые два интеграла дают , а третий равен - значению U(q) при q = 0.

Аналогичным образом, во втором члене пишем

и после перехода к интегрированию по получаем

Оставшийся интеграл выражается через фурье-компоненты функций и U с помощью формулы для фурьё-компонент произведения двух функций

(13,11)

Таким образом, для поправки первого порядка в функции Грина в импульсном представлении окончательно находим

(13,12)

Каждому из двух членов в (13,12) ставится в соответствие определенная диаграмма Фейнмана, и выражение (13,12) записывается в виде

(13,13)

Точки пересечения линий называют вершинами диаграммы. Каждая диаграмма имеет вершин, где —порядок теории возмущений. В каждой вершине сходятся две сплошные и одна пунктирная линии. Каждой сплошной линии приписывается свой -импульс» Р в направлении, указанном стрелкой (причем вдоль каждой непрерывной последовательности сплошных линий направление стрелок не меняется). Каждой пунктирной линии приписывается 4-импульс Q, причем и для этих линий условно выбирается какое-либо (любое) направление стрелки. В вершинах диаграммы выполняется «закон сохранения 4-импульса»: сумма 4-импульсов входящих линий равна сумме 4-импульсов выходящих из вершин линий. Вершине приписывается также и определенный спиновый индекс а. Каждая диаграмма имеет две внешние линии (входящую и выходящую), 4-импульс которых есть аргумент искомой функции Грина выходящей и входящей внешним линиям приписываются также спиновые индексы этой функции. Остальные линии диаграммы называют внутренними.

Аналитическая запись членов, отвечающих каждой диаграмме, производится по следующим правилам:

1) Каждой сплошной линии между вершинами ставится в соответствие множитель каждой пунктирной линии — множитель . Замкнутой петле с одной вершиной сопоставляется множитель

2) В каждой вершине выполняется закон, сохранения 4-импульса. По остающимся неопределенными 4-импульсам внутренних линий производится интегрирование по . В каждой вершине производится суммирование по паре немых спиновых индексов — по одному от каждого из соседних -множителей.

3) Общий множитель, с которым диаграмма входит в равен где -число содержащихся в ней замкнутых петель сплошных линий с более чем одной вершиной.

Последнее правило имеет следующее происхождение. Замкнутая петля с вершинами происходит от свертки -операторов вида

Здесь все свертки равны , а последняя равна —

Что касается петель с одной вершиной, то их правильный знак учитывается уже введением по правилу 1.

Для примера изобразим совокупность диаграмм, определяющих поправку второго порядка в функции Грина:

Наконец, вернемся к теореме Вика и дадим ее доказательство в применении к «макроскопическому пределу» (т. е. при или, что то же при заданной плотности системы, при ), который только и существен в статистических применениях.

Рассмотрим, например, среднее от произведения четырех -операторов типа

(13,15)

(-операторы представлены в виде (9,3); очевидные, но громоздкие показатели экспонент не выписываем). В этой сумме отличны от нуля лишь члены, в которых содержится по одинаковому числу операторов с одинаковыми значениями импульсов. Среди них есть члены, в которых импульсы равны попарно, например,

Эти члены отвечают попарной свертке

и выражаются суммой вида

В пределе суммирование по заменяются интегрированием по объем V сокращается и это выражение остается конечным. В сумме (13,15) отличны от нуля также и члены с эти члены образуют сумму вида

но после перехода в ней к интегрированию один множитель остается, и в пределе выражение обращается в нуль.

Ясно, что этот результат имеет общий характер: в пределе в среднем значении от произведения -операторов не обращаются в нуль лишь результаты попарных сверток.

Отметим, что в изложенном доказательстве по существу не использовалось, что усреднение производится именно по основному состоянию, и поэтому оно остается справедливым и при усреднении по любому квантовому состоянию системы.