§ 72. Спиновый гамильтониан

Для получения закона дисперсии магнонов во всем интервале изменения квазиимпульса (а не только в длинноволновом пределе) необходимо, разумеется, использовать более детальные представления о микроскопической структуре ферромагнетика.

Рассмотрим диэлектрик, состоящий из атомов с равным нулю орбитальным моментом, но отличным от нуля спином S. Если не интересоваться высоко возбужденными состояниями, связанными с возбуждением электронных оболочек атомов, можно усреднить гамильтониан системы по орбитальным переменным электронов атомов в основном состоянии (и при закрепленных в узлах решетки атомных ядрах). В результате мы получим спиновый гамильтониан системы, содержащий лишь операторы полных спинов атомов.

Если учитывать только обменное взаимодействие, зависящее лишь от относительных ориентаций спинов, то операторы векторов спинов атомов могут входить в гамильтониан лишь в виде скалярных комбинаций.

Существенный методический интерес представляет исследование системы, описываемой простейшим гамильтонианом такого рода:

где суммирование происходит по всем атомам; «векторные» (с целочисленными компонентами) индексы шип нумеруют узлы решетки; радиус-векторы. Числа называют обменными интегралами (ср. III § 62, задачи). При независимом суммировании по и каждая пара атомов встречается в сумме (72,1) дважды, причем, конечно,

В (72,1) все магнитные атомы в решетке предполагаются одинаковыми (по одному в каждой элементарной ячейке). Основное же предположение, лежащее в основе такого гамильтониана, состоит в достаточной взаимной удаленности атомов в решетке. Обменный интеграл определяется «перекрытием» волновых функций двух атомов и очень быстро (экспоненциально) убывает с увеличением расстояния между ними. Для системы взаимно удаленных атомов можно поэтому считать взаимодействие парным, в связи с чем в (72,1) отсутствуют члены с произведениями операторов спина более чем двух атомов. С этой же точностью можно считать, что обменное взаимодействие между двумя атомами осуществляется каждый раз всего одной парой электронов — по одному из каждого атома. Тогда оператор взаимодействия будет составлен билинейно по операторам спинов электронов, а после усреднения по состояниям атомов билинейно по атомным спинам

Система, описываемая гамильтонианом (72,1), ферромагнитна, если обменные интегралы Определим энергию основного состояния такой системы. Допустим при этом наличие также и внешнего магнитного поля §, добавив к (72,1) оператор

(ось z - в направлении поля). Оператор проекции полного спина системы коммутативен как с так и с V; состояния системы можно поэтому классифицировать по собственным значениям этой величины.

В ферромагнитном случае основному состоянию отвечает наибольшее возможное значение проекции суммарного спина, равное , где - число атомов в системе (это не связано, конечно, с наличием внешнего поля, которое лишь выделяет избранное направление оси). Пусть нормированная спиновая волновая функция основного состояния.

Максимальное значение проекции полного спина может достигаться, лишь если и проекция спина каждого атома имеет свое максимальное значение S. Поэтому есть в то же время и собственная функция каждого из операторов

Введем необходимые для дальнейшего операторы удовлетворяющие правилам коммутации

(см. III (26,12)). Их матричные элементы:

(см. III (27,12)); оператор увеличивает, a -уменьшает на единицу значение проекции Далее, пишем

и затем

где использована симметрия и коммутативность операторов, относящихся к разным атомам.

Поскольку операторы имеют матричные элементы лишь для переходов с увеличением чисел то для состояния с наибольшими значениями этих чисел

(что видно также и из явных выражений матричных элементов (72,5)). Поэтому при воздействии гамильтониана (72,6) на волновую функцию получается

Выражение в скобках и есть энергия основного состояния.

Заменив суммирование по суммированием по и по запишем окончательно в виде

Полный магнитный момент системы в этом состоянии есть

Следующее, в порядке уменьшения проекции полного спина, состояние системы отвечает значению указанной проекции; оно соответствует возбуждению одного магнона с магнитным моментом . Таким значением проекции полного спина обладает состояние с волновой функцией

в котором воздействием оператора уменьшена на 1 проекция спина одного из атомов. Эта функция, однако, не является собственной функцией гамильтониана системы; в ней не учтена еще трансляционная симметрия решетки. Собственная функция гамильтониана должна быть построена как линейная комбинация функций (72,9) со всем и номерами n. Те же рассуждения, которые привели нас в § 55 к функциям Блоха для электрона в периодическом поле, показывают, что для правильного учета трансляционной симметрии эта линейная комбинация должна иметь вид

(72,10)

(множитель — нормировочный). Постоянный вектор k есть не что иное, как квазиимпульс магнона.

Энергия магнона есть разность между энергиями возбужденного и основного состояний системы. Поэтому

Подставив в левую сторону этого равенства выражение (72,10) и заменив затем на , получим

(72,11)

Стоящий здесь коммутатор легко вычислить, записав в виде (72,6) и использовав правила коммутации (72,4).

Снова учтя симметрию коэффициентов найдем

(72,12)

Наконец, подставив это выражение в (72,11), вспомнив (72,3) и перейдя к суммированию по , получим

Выражение в фигурных скобках есть искомая энергия магнона. Мнимая часть выражения под знаком суммы, будучи нечетной функцией , обращается в нуль в результате суммирования, так что окончательно

(72,13)

Эта формула дает точный закон дисперсии магнонов в системе, описываемой гамильтонианом (72,1). В предельном случае малых к она переходит, естественно, в квадратичный закон:

(72,14)

Точка Кюри рассматриваемой системы лежит при температуре , так что при температурах система уже заведомо парамагнитна. При таких температурах можно, в первом приближении, вовсе пренебречь взаимодействием между атомами. В этом приближении магнитная восприимчивость системы будет совпадать с восприимчивостью идеального газа атомов со спином 5 и даваться формулой

(см. V § 52); восприимчивость отнесена к единице объема. Это выражение является первым членом разложения функции по степеням . Следующие члены разложения уже зависят от взаимодействия атомов; определим первый из них.

Восприимчивость (в нулевом поле) определяется как производная при , а намагниченность М вычисляется как производная от свободной энергии: . Для решения поставленной задачи надо вычислить F с точностью до членов .

Исходим из формулы , где Z - статистическая сумма

суммирование производится по всем уровням энергии системых).

Полное число уровней в спектре рассматриваемой системы конечно и равно числу всех возможных комбинаций ориентаций атомных спинов относительно решетки. Каждый спин имеет 2S + 1 различных ориентаций; поэтому указанное число есть . Обозначая чертой над буквой простое арифметическое усреднение, перепишем Z в виде

Среднее значение . По известному свойству следа оператора он может вычисляться по любой полной системе волновых функций; пусть это будут функции, отвечающие всем возможным наборам ориентаций атомных спинов. Тогда усреднение сводится к независимому усреднению каждого из спинов по его направлениям; при этом . Логарифмируя теперь Z и снова разлагая по степеням , с той же точностью получим

(72,16)

В этом выражении нас интересуют члены, содержащие ; только эти члены дадут вклад в восприимчивость. Опустив все остальные члены и заметив, что при усреднении нечетные степени компонент спина обращаются в нуль, получим

Средние значения

Таким образом,

и отсюда окончательно восприимчивость

(72,17)

Обратим внимание на то, что знак поправочного члена в квадратных скобках зависит от знака обменного интеграла.

Задачи

1. Найти магнитную часть теплоемкости системы, описывающейся гамильтонианом (72,1), при температурах

Решение. Первый член разложения теплоемкости по степеням возникает от члена в свободной энергии (72,16). Усредняя тем же способом квадрат гамильтониана (72,1), получим

(так как ) Для теплоемкости находим в результате

в соответствии с V (73,4).

2. Пренебрегая взаимодействием между спинами, вычислить намагниченность парамагнетика при произвольном соотношении между и Т.

Решение. Статистическая сумма (для одного спина в поле)

Вычисляя свободную энергию и дифференцируя ее по , находим намагниченность

(L. Brillouin, 1927), При это выражение переходит в (72,15). В обратном пределе, при , намагниченность стремится к своему номинальному значению по закону