§ 15. Двухчастичная функция Грина

К другим важным понятиям диаграммной техники мы придем, рассмотрев усредненное по основному состоянию Т-про-изведение четырех гейзенберговских -операторов

Эту функцию называют двухчастичной функцией Грина (в отличие от функции Грина (7,9), называемой в этой связи одночастичной).

Для применения теории возмущений и построения диаграммной техники надо снова перейти к операторам в представлении взаимодействия. Как и в случае функции G, это приведет к появлению множителя S под знаком Т-произведения:

В нулевом приближении (т. е. при ) это выражение распадается на сумму произведений двух сверток, выражающихся через -функции:

Дальнейшее обсуждение свойств определенной таким образом двухчастичной функции Грина будем проводить в импульсном представлении.

Для однородной системы функция зависит фактически лишь от трех независимых разностей аргументов, например, от . В импульсном представлении это свойство выражается тем, что компонента разложения Фурье по всем переменным содержит -функцию:

В этом легко убедиться, заметив, что

и перейдя к интегрированию по .

Отметим, кстати, что формулу обратного фурье-преобразования можно записать как

Определенную таким образом функцию мы и будем называть двухчастичной функцией Грина в импульсном представлении; ее аргументы связаны равенством

В нулевом приближении имеем для нее (в соответствии с (15,3))

т. e. К сводится к сумме двух произведений одночастичных гриновских функций.

В следующих приближениях теории возмущений появляются члены, сводящиеся к введению поправок к этим одночастичным функциям. Наряду с ними, однако, возникают также и члены, не укладывающиеся в произведения G-функций. Именно эта часть двухчастичной функции Грина представляет самостоятельный интерес. Для ее выделения представим К в виде

Определенную таким образом функцию Г называют вершинной функцией.

Согласно определению (15,1), двухчастичная функция Грина в пространственно-временном представлении антисимметрична по отношению к перестановкам аргументов (вместе со спиновыми индексами) первой и второй пары: 1 и 2 или 3 и 4. Отсюда следует аналогичное свойство симметрии для функции Грина и вершинной функции в импульсном представлении:

Смысл выделения четырех G-множителей в определении Г (последний член в (15,7)) становится ясным, если проследить за характером диаграмм, возникающих при раскрытии выражения (15,2) для двухчастичной функции Грина.

Следующие ниже рассуждения снова предполагают парное взаимодействие между частицами.

В нулевом приближении функции К сопоставляются диаграммы

отвечающие двум членам в (15,6). В первом порядке теории возмущений появляются диаграммы типовх)

представляющие собой поправки к каждому из отдельных множителей в (15,6). Кроме них, однако, появляются также диаграммы, не разбивающиеся на две отдельные части:

Четыре стрелки отвечают четырем G-множителям в последнем члене в (15,7), а «внутренняя» часть диаграмм определяет (в первом порядке) вершинную функцию — кружок в левой стороне диаграммного равенства (15,9). Раскрыв эти диаграммы в аналитическом виде, получим

Диаграммы более высоких порядков содержат поправки трех категорий: 1) дальнейшие поправки к двум не соединенным между собой сплошным линиям, 2) поправки собственно-энергетического типа к концевым линиям на диаграммах (15,9), 3) поправки, образующие фигуру, заменяющую собой пунктирную линию на диаграммах (15,9); сумма всех возможных таких фигур и дает точную вершинную функцию

В графическом представлении двухчастичной функции Грина суммой скелетных диаграмм

(15,10)

жирные линии изображают точные G-функции, а кружок условно обозначает вершинную функцию.

Вычисление вершинной функции в различных порядках теории возмущений должно производиться по сформулированным в § 13 правилам диаграммной техники, причем должны рассматриваться диаграммы с четырьмя внешними концами (а не с двумя, как при вычислении G). Правило 3), определяющее общий знак диаграммы, должно быть дополнено следующим указанием: если непрерывными последовательностями сплошных линий связаны концы 1 с 4 и 2 с 3 (вместо 1 с 3 и 2 с 4), то знак диаграммы меняется на обратный.

Изобразим, для примера, все диаграммы, определяющие вершинную функцию во втором порядке теории возмущений:

Собственно-энергетическая и вершинная функции (2 и Г) не независимы; они связаны друг с другом определенным интегральным уравнением (так называемым уравнением Дайсона).

Для его вывода воспользуемся уравнением (9,5), справедливым (как было отмечено там же) и при учете взаимодействия частиц. Разница по сравнению с выводом в § 9 состоит, однако, в том, что теперь -оператор удовлетворяет уравнению (7,8). Опустив в последнем член с внешним полем и подставив из него производную . В (9,5), получим

(15,12)

Это равенство решает, в принципе, поставленный вопрос, так как К выражается через Г согласно (15,7). Остается лишь перейти к импульсному представлению. Для этого умножим равенство (15,12) на и проинтегрируем по представив в виде (15,5), а в виде (13,9). Тогда интегрирование по 4-координатам дает -функции, которые устраняются интегрированием по 4-импульсам. В результате получим

(15,13)

Теперь осталось выразить К через Г. Подставив (15,7) в (15,13), получим окончательно уравнение Дайсона в виде

(15,14)

Здесь — точная плотность системы как функция ее химического потенциала; этот множитель возникает от интегрирования G-функции по формуле (7,24) (при этом учитывается, что данная G-функция возникла от свертки, в которой стоит слева от ). Отметим, что первый член в правой стороне уравнения (15,14) есть (14.11).