§ 73. Взаимодействие магнонов

Существенный методический интерес представляет вопрос о вкладе в магнитную часть термодинамических величин ферромагнетика, происходящем от взаимодействия магнонов; напомним, что вычисления в § 71 были основаны на представлении об идеальном газе невзаимодействующих магнонов. Рассмотрим этот вопрос для системы, описываемой обменным спиновым гамильтонианом (72,1).

Имея в виду нахождение вклада только наиболее низкого порядка по малому отношению , мы можем ограничиться лишь парным взаимодействием магнонов. Это значит, что надо рассмотреть двухмагнонные состояния системы, в которых проекция полного спина равна .

Такой проекции отвечают волновые функции

поскольку операторы спина различных атомов коммутативны, Функции (73,1) нормированы условием в чем легко убедиться, раскрывая произведение таким же образом, как это было сделано для проверки нормировки в (72,9). Тем же способом можно убедиться и во взаимной ортогональности различных функций

Функции (73,1) не являются сами по себе собственными функциями гамильтониана. Волновые же функции двухмагнонных стационарных состояний системы должны представлять собой определенные линейные комбинации функций которые запишем в виде

(поскольку и - одно и то же, то надо полагать и ). Совокупность коэффициентов составляет волновую функцию в представлении, в котором независимыми переменными являются номера атомов в решетке. Множитель 1/2 в первой сумме в (73,2) введен для того, чтобы квадрат модуля был равен сумме в которой каждая из различных грщл встречалась бы лишь один раз.

Тем же способом, которым было найдено уравнение (72,11) для волновых функций одномагнонных стационарных состояний, найдем, что функции (73,2) должны удовлетворять аналогичному уравнению

где теперь - энергия двух взаимодействующих друг с другом магнонов (а скобки означают коммутатор).

Раскроем коммутаторы в правой стороне уравнения (73,3). Для этого замечаем, что

и используем выражения (72,12) для коммутаторов

После этого с учетом правил коммутации (72,4) переставляем операторы в крайнее правое положение, где они, воздействуя на функцию умножают ее на S. В результате получим

для упрощения записи формул ограничения, налагаемые на индексы суммирования, не выписываются — суммирования производятся по всем значениям 1, по при этом подразумевается, что все «диагональные» .

Дальнейшая процедура сводится к подстановке (73,4) в уравнение (73,3) и приравниванию коэффициентов, стоящих при одинаковых функциях в обоих сторонах равенства. Вычисления элементарны, хотя и довольно громоздки. Они приводят в результате к следующей системе уравнений для величин :

где

и введено обозначение J для суммы не зависящей, очевидно, от индекса .

Перейдем в этом уравнении от координатного представления (независимые переменные координаты атомов ) к импульсному, т. е. положим

Вектор К играет роль суммарного квазиимпульса двух магнонов, а к — квазиимпульса их относительного движения; суммирование производится по N дискретным значениям k, допускаемым для решетки объема ( — число атомов в решетке, v — объем ее элементарной ячейки).

Вместе с надо представить в виде ряда Фурье также и обменные интегралы:

(поскольку то )

Опустив простые промежуточные выкладки, приведем сразу окончательный результат преобразования уравнения (73,5):

где

а - энергия одного магнона, определяемая формулой (72,13); суммирование по к заменено интегрированием по одной ячейке обратной решетки.

Таким образом, точная (в рамках гамильтониана (72,1)) задача о двухмагнонных состояниях системы сводится к решению уравнения, вполне аналогичного уравнению Шредингера для системы двух частиц в импульсном представлении (ср. III (130,4)). При этом функции играют роль кинетических энергий частиц, а ядро интегрального уравнения ) — роль матричного элемента энергии U их взаимодействия для перехода (рассеяния) из состояний с импульсами в состояния с импульсами , где

В этом смысле ) целесообразно записать в виде

(73,10)

В общем случае уравнение (73,8-9) очень сложно. Мы ограничимся вычислением поправки к термодинамическим величинам в предположении Простота этого случая связана с тем, что энергия магнонов пропорциональна S, а их взаимодействие U не зависит коэффициент в (73,9) ). Поэтому U можно рассматривать как малое возмущение.

Тогда поправка (от взаимодействия магнонов) к термодинамическому потенциалу будет даваться просто средним значением U. Взяв «диагональный матричный элемент»

(73,11)

мы тем самым усредняем по состоянию с заданными квазиимпульсами магнонов. После этого статистическое усреднение по равновесному распределению магнонов осуществляется интегрированием

(73,12)

где - функция распределения Бозе.

При низких температурах интеграл определяется областью малых значений соответственно чему следует разложить все по степеням k. Тогда дается квадратичным выражением (72,14). Поскольку — четная функция k, то квадратичны также и первые члены ее разложения:

Тогда

Но при подстановке этого выражения, нечетного по , в (73,12) интеграл обращается в нуль в результате усреднения по направлениям .

Поэтому в разложении надо учесть члены четвертого порядка, в результате чего в интеграле (73,12) функция оказывается формой четвертой степени, причем отличный от нуля вклад в интеграл дают члены этой формы, квадратичные по k и по . Ввиду быстрой сходимости интегрирование может быть распространено по всему -пространству. Заменой переменных убеждаемся тогда, что зависимость от Т и имеет вид

(73,13)

причем конечны. Отсюда следует, что поправочный член в намагниченности

Такому же закону следует поправочный член в теплоемкости.

Мы видим, что взаимодействие магнонов приводит к поправкам в термодинамических величинах лишь в высоком приближении по . Напомним, что основные члены в намагниченности и в магнитной части теплоемкости следуют закону Между этими членами и поправками от существуют еще члены, пропорциональные происходящие от следующих членов разложения энергии магнонов по степеням .

С помощью полученных уравнений можно рассмотреть также вопрос о связанных состояниях двух магнонов. Эти состояния проявляются как дискретные (при заданном К) собственные значения уравнения (73,8). Как функции переменной К, эти собственные значения представляют собой новые ветви элементарных возбуждений в системе. Исследование показывает, однако, что эти состояния существуют только при достаточно больших значениях К; поэтому они во всяком случае не влияют на термодинамические величины ферромагнетика при низких температурах.