§ 14. Собственно-энергетическая функция

Сформулированные в предыдущем параграфе правила диаграммной техники обладают важным свойством: общий коэффициент в диаграмме не зависит от ее порядка. В силу этого свойства каждая «фигура» на диаграмме имеет определенный аналитический смысл независимо от того, в какую диаграмму она входит, так что ее можно вычислять независимо, заранее.

Мало того, можно заранее вычислить сумму некоторых фигур, имеющих определенное число концов, и затем вставить этот «блок» в более сложные диаграммы. Это одно из важнейших преимуществ диаграммой техники.

Одним из таких «блоков», имеющих также и существенное самостоятельное значение, является так называемая собственноэнергетическая функция. Чтобы прийти к этому понятию, рассмотрим все диаграммы для функции Грина, которые нельзя разделить на две части, соединенные лишь одной сплошной линией. К таковым относятся, например, обе диаграммы первого порядка теории возмущений (13,13) и диаграммы (13,14а-е) второго порядка. Все эти диаграммы построены однотипно: по одному множителю по концам и некоторая внутренняя часть (функция от Р), которую и называют собственно энергетической функцией. Сумму всех возможных таких частей называют точной или полной собственно энергетической функцией или массовым оператором; обозначим ее через .

Все диаграммы собственно энергетического типа дают в гриновскую функцию вклад, равный

где помимо написано также и

Полная же функция Грина (изображаемая графически жирной сплошной линией) дается суммой бесконечного ряда

где кружки изображают точные собственно энергетические функции . Каждый член этого ряда (начиная с третьего) представляет собой совокупность диаграмм, которые могут быть рассечены на две, три и т. д. части, соединенные между собой одной сплошной линией.

Если от всех членов ряда (14,3), начиная со второго, «отсечь» один кружок с присоединенной к нему справа линией, то оставшийся ряд будет снова совпадать с полным рядом. Это значит, что

В аналитическом виде это равенство записывается как

или, разделив

Отметим, что знак мнимой части 2 совпадает со знаком и, согласно (8,14),

Это следует из (14,6) с учетом того, что знак противоположен знаку , а согласно (9,7), .

Таким образом, вычисление G сводится к вычислению 2, требующему рассмотрения меньшего числа диаграмм. Это число еще более уменьшается в связи с тем, что часть оставшихся диаграмм сразу суммируется к очень простому выражению.

Именно выделим из всей совокупности диаграмм, определяющих 2 (при парном взаимодействии между частицами), те, которые представляют собой различные «отростки», присоединенные к концевым линиям одним пунктиром: их сумму обозначим через 2а. Все такие диаграммы содержатся в одной скелетной диаграмме вида

Остальную же часть 2 обозначим . Так, среди диаграмм первого и второго порядков к первой категории относятся следующие:

а ко второй:

(14,10)

Жирной петле на диаграмме (14,8) отвечает точная плотность системы (подобно тому, как тонкой петле на диаграмме (13,13а) отвечает плотность идеального газа Поэтому из определения (14,8) следует, что

(14,11)

Таким образом,

(14,12)

так что особого вычисления требуют лишь диаграммы, входящие в

Закон дисперсии квазичастиц определяется уравнением (8,16). Выразив в нем G через 2, согласно (14,6), и взяв из (9,7), получим это уравнение в виде

(14,13)

На границе ферми-сферы при энергия квазичастицы совпадает с Отсюда видно, что

(14,14)

В результате уравнение закона дисперсии принимает (при значениях вблизи ) вид

(14,15)

Подчеркнем, что здесь — точное значение граничного импульса для системы взаимодействующих частиц. Оно связано соотношением с точной плотностью а не с приближенной как в (13,5).