§ 16. Связь вершинной функции с амплитудой рассеяния квазичастиц

Математический аппарат, развитый в предыдущих параграфах, дает возможность строго обосновать и более глубоко понять смысл основных соотношений теории ферми-жидкости Ландау, которые были введены в главе I до некоторой степени интуитивным образом. Этому посвящены §§ 16—20.

Существует тесная связь между вершинной функцией и амплитудой взаимного рассеяния квазичастиц. Для лучшего уяснения этой связи рассмотрим ее сначала в рамках чисто квантовомеханической задачи о рассеянии двух частиц в вакууме.

В квантовой механике -диаграммы с четырьмя внешними концами (двумя входящими и двумя выходящими) отвечают процессу столкновения двух частиц; при этом в аналитическом выражении диаграммы ее внешним концам сопоставляются амплитуды волновых функций (плоских волн) свободных частиц (ср. IV § 103). Проследим, каким образом такие диаграммы различных порядков действительно дают последовательные члены обычного нерелятивистского борновского разложения амплитуды рассеяния.

Прежде всего в случае вакуума большое число диаграмм вообще обращается в нуль. Это проще рсего понять в координатном представлении, заметив, что в вакууме равны нулю все свертки вида в которых оператор уничтожения стоит справа и действует на вакуумное состояние первым, остаются только свертки вида Поэтому обращаются в нуль все диаграммы с замкнутыми петлями сплошных линий — они всегда содержат свертку вида По той же причине равны нулю все поправки к гриновской функции, т. е. к внутренним сплошным линиям диаграмм. Наконец, равны нулю диаграммы с перекрещивающимися пунктирными линиями; так, в диаграмме

(здесь цифры 1 и 2 означают ) при верхней внутренней линии отвечает свертка а если то свертка отвечает нижней линии.

Таким образом, для двух частиц в вакууме остаются только следующие диаграммы, образующие, как говорят, «лестничный ряд»:

Внутренним сплошным линиям в них отвечают вакуумные функции Грина

(формула ). Обратим внимание на то, что (ввиду отсутствия слагаемого ( в знаменателе) полюс этой функции всегда находится в определенной (нижней) полуплоскости комплексного Обращение в нуль перечисленных выше диаграмм возникает, с математической точки зрения, - именно вследствие расположения всех полюсов подынтегральных выражений в одной полуплоскости; обращение интегралов в нуль становится очевидным при замыкании пути интегрирования в другой полуплоскости.

Лестничный ряд (16,1) можно просуммировать, сведя его к интегральному уравнению (ср. ниже суммирование аналогичного ряда (17,3)). Если сначала опустить диаграммы с переставленными концами 3 и 4, это уравнение окажется эквивалентным уравнению Шредингера для двух частиц без учета их тождественности, записанному в импульсном представлении (уравнение III (130,9)). Соответственно, вершинная функция Г выразится через амплитуду рассеяния двух частиц формулой

Прибавление же диаграмм с переставленными концами 3 и 4 приводит к антисимметризации амплитуды, как это и должно быть для фермионов. В первом приближении теории возмущений остаются лишь первая диаграмма (16,1) и диаграмма с переставленными концами, в которые вообще не входит. Для амплитуды рассеяния тогда получится обычная формула первого борновского приближения.

Последующие диаграммы, после проведения интегрирования по промежуточным частотам, дают известные выражения для поправок к амплитуде в следующих борновских приближениях.

В ферми-жидкости взаимодействие сталкивающихся частиц с частицами среды приводит к их эффективной замене квазичастицами. Все связанные с этим взаимодействием поправки к внутренним линиям диаграммы автоматически учитываются определением функции Г. Дополнительного учета требуют, однако, поправки к внешним линиям. В квантовой теории поля показывается, что уже в силу общих требований унитарности матрицы рассеяния эти поправки приводят к появлению в амплитуде рассеяния по множителю на каждый свободный конец, где Z - перенормировочная постоянная функция Грина (см. IV § 107); для диаграмм с четырьмя концами означает умножение на . Хотя изложенный там вывод справедлив и для квазичастиц в ферми-жидкостй, поясним здесь происхождение этого множителя также и с помощью более простых (хотя и не строгих) рассуждений.

Дело в том, что гриновская функция жидкости вблизи своего полюса (первый член в ) отличается от гриновской функции идеального газа только множителем Z. Если ввести вместо операторы то составленная из них гриновская функция будет выглядеть вблизи полюса в точности как для идеального газа. В этом смысле эти операторы можно рассматривать как -операторы идеального газа квазичастиц. Определенная по ним двухчастичная функция Грина будет и, следовательно (согласно определению (15,7)), вершинная часть что и требовалось.

В применении к квазичастицам представляет интерес не столько сечение рассеяния, сколько число столкновений (в 1 сек в 1 см3 жидкости). Для столкновений с заданным изменением импульсов и проекций спинов частиц такое число дается формулой

причем — функция распределения квазичастиц. Множители выражают собой просто тот факт, что число столкновений квазичастиц с заданными начальными импульсами и (проекциями спинов) пропорционально числам таких квазичастиц в единице объема.

Множители же связаны с тем, что, согласно принципу Паули, столкновение может произойти, только если конечные состояния свободны.