§ 56. Влияние внешнего поля на движение электрона в решетке

Рассмотрим движение электрона при наложении на решетку постоянного магнитного поля Н. Если исходить из гамильтониана электрона в периодическом поле в координатном представлении:

(где — оператор истинного импульса), то введение внешнего магнитного поля осуществляется обычным образом:

где — векторный потенциал поля. Задача, однако, радикально упрощается в случае достаточно слабого поля — путем перехода к квазиимпульсному представлению.

Ввиду большого разнообразия в возможных видах зонной структуры энергетического спектра электрона в решетке условие малости внешнего поля может быть сформулировано в общем виде лишь довольно грубым образом. Пусть электрон до включения поля находится в некоторой определенной (s-й) зоне. Обозначим через наименьшую из энергетических величин, характеризующих эту зону, — ее характерную ширину или расстояние до соседних зон (т. е. разностей ) при заданных к). Для того чтобы магнитное поле можно было считать слабым, во всяком случае должно выполняться условие

где «ларморова частота» а -эффективная масса электрона

В отсутствие внешнего поля гамильтониан электрона в решетке в -представлении есть, как уже указывалось, диагональная матрица с элементами . В присутствии поля гамильтониан будет содержать также и потенциал и его производные по координатам напряженность Н (а в неоднородном поле также и дальнейшие производные от напряженности); в k - представлении функция заменяется оператором , где — оператор (55,14).

Потенциал есть возрастающая (для однородного поля — по линейному закону) функция координат. Ввиду этого возрастания потенциал, даже для слабого поля, отнюдь не является малым возмущением в гамильтониане неограниченной системы (электрон в решетке). Именно поэтому уже слабое магнитное поле существенно меняет свойства протяженной системы — превращает непрерывный спектр в дискретный (квантует уровни, см. § 58). Напряженность же слабого поля (в отличие от потенциала) приводит лишь к малым поправкам.

Покажем, что в пренебрежении этими поправками зависимость гамильтониана от потенциала поля можно выяснить в общем виде исходя из одних только требований калибровочной инвариантности.

Поскольку мы рассматриваем постоянные поля, то достаточно использовать инвариантность уравнений относительно не зависящих от времени преобразований потенциала и волновых функций вида

(56,4)

где — произвольная функция координат (см. III (111,8-9)).

В слабом поле потенциал - медленно меняющаяся функция координат. Имея в виду выяснение роли этой медленности, рассмотрим сначала предельный случай постоянного потенциала: (разумеется, постоянный потенциал фиктивен — реальное поле при этом отсутствует, так что речь идет о формальном преобразовании). Переход от эквивалентен преобразованию (56,4) с поэтому вместо исходных (при ) собственных функций

(56,5)

собственными функциями нового гамильтониана будут

Отсюда видно, что для придания квазиимпульсу прежнего смысла (величины, определяющей изменение фазы волновой функции при трансляциях) надо положить к определенную таким образом величину К можно назвать обобщенным квазиимпульсом. Тогда новые собственные функции запишутся в виде

а соответствующие им значения энергии электрона: Мы можем теперь утверждать, что при не постоянном, но медленно меняющемся в пространстве потенциале волновые функции «нулевого» (по напряженности поля) приближения будут

(причем функции и, благодаря переменности А, уже не являются строго периодическими). Энергии же надо рассматривать теперь как операторы, образующие гамильтониан в K-представлении.

При этом, в том же приближении, под надо понимать оператор опустив второй член в определении (55,14). Действительно, при воздействии на волновую функцию оператор , по порядку величины, умножает ее на «размер орбиты» возрастающий при уменьшении поля; результат же воздействия оператора на волновую функцию такого возрастающего множителя не содержит. В этом смысле в слабом поле оператор мал по сравнению с Поскольку, с другой стороны, оператор диагонален по номерам зон, то оказывается диагональным и гамильтониан.

Таким образом, мы приходим к результату, что движение электрона в решетке в слабом магнитном поле описывается гамильтонианом (в К-представлении)

(R. Peierls, 1933). В этом приближении, следовательно, имеется полная аналогия со способом введения магнитного поля в гамильтониан свободной частицы в импульсном представлении.

Выражение (56,7) еще не вполне определено, так как не установлен порядок действия некоммутативных операторов — компонент вектора Он должен быть определен так, чтобы обеспечить эрмитовость гамильтониана. Этого можно, в принципе, всегда достичь, представив периодическую (в обратной решетке) функцию в виде ряда Фурье

(суммирование по всем векторам а прямой решетки). После замены в показателе каждого члена этого ряда будет стоять только один оператор (проекция вектора на а), так что вопрос о порядке действия не возникает все сводится к степеням этого одного оператора. Такой способ «эрмитизации», конечно, не единствен. Существенно, однако, что разница между различными способами лежит за пределами рассматриваемого приближения, поскольку коммутаторы операторов в этом приближении представляют собой малые величины. Так, для однородного поля оператор

прямым вычислением легко найти, что коммутаторы

(56,10)

пропорциональны малой напряженности Н.

Операторы имеют те же правила коммутации, что и координаты и обобщенные импульсы «свободной» (без решетки) частицы. Естественно поэтому, что вычисление коммутаторов операторов и К с гамильтонианом приводит к операторным уравнениям

(56,11)

имеющим вид обычных уравнений Гамильтона (для вычисления см. формулы III (16,4-5)).

Снова повторим, что гамильтониан (56,7) является приближенным в том смысле, что в нем отброшены все члены, зависящие от напряженности Н и не содержащие больших множителей порядка величины размеров орбиты . В следующих приближениях ответ тоже может быть представлен в виде некоторого эффективного гамильтониана ), диагонального по номерам зон, но уже не выражающегося через одни только функции

В пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием, учет спина электрона приводит в гамильтониане к появлению обычного члена, описывающего взаимодействие магнитного момента с полем: где — матрицы Паули, а - магнетон Бора. Если кристалл обладает центром инверсии, спин-орбитальное взаимодействие только меняет магнитный момент электрона, так что взаимодействие спина с магнитным полем приобретает вид

(56,12)

Действительно, в этом случае гамильтониан должен быть инвариантен по отношению к одновременным операциям обращения времени и инверсии. При этом преобразовании надо заменить при неизменном к; (56,12) является общим выражением, удовлетворяющим поставленному требованию. Тензор , разумеется, нельзя вычислить в общем виде.

Наконец, остановимся на поведении электрона при наложении на решетку слабого электрического поля Е. Условие слабости означает, что энергия, приобретаемая электроном в поле на расстоянии , мала по сравнению с характерной энергией

Как и в случае магнитного поля, наиболее важную роль играют члены, содержащие возрастающую функцию координат — скалярный потенциал электрического поля Зависимость гамильтониана от можно снова выяснить в общем виде исходя из соображений, аналогичных использованным выше. Действительно, включение фиктивного постоянного потенциала эквивалентно в уравнении Шредингера добавлению к энергии постоянного слагаемого такое слагаемое добавится и ко всем собственным значениям При непостоянном же, но медленно меняющемся в пространстве потенциале аналогичный операторный член добавляется к эффективному гамильтониану в к-представлении:

(56,13)