§ 35. Свойства спектра вблизи точки его окончания

В этом параграфе мы рассмотрим свойства спектра бозе-жидкости вблизи порогов распада элементарных возбуждений на две квазичастицы, из которых ни одна не является фононом (случаи а) и б) из § 34). В противоположность распадам с рождением фонона, к этим случаям теория возмущения неприменима, и их исследование требует выяснения характера особенностей, которые имеют в пороговых точках гриновские функции жидкости. С другой стороны, тот факт, что нас будут интересовать только эти особенности, позволяет существенно схематизировать и тем самым упростить вычисления. В частности, можно не делать различия между функциями G и F (поскольку их аналитические свойства одинаковы) и поступать так, как если бы существовал только один тип гриновских функций; учет различия между G и F привел бы лишь к появлению в уравнениях нескольких аналогичных (по своим аналитическим свойствам) членов, что не отразилось бы на результатах.

Тот факт, что интересующая нас особенность гриновской функции связана с распадом квазичастицы на две другие, в терминах диаграммной техники означает, что она происходит от диаграмм вида

которые могут быть рассечены по двум сплошным линиям, т. е. которые содержат в себе двухчастичные промежуточные состояния.

В этих диаграммах по промежуточному 4-импульсу производится интегрирование, причем определяющую (в смысле возникновения особенности) роль играет область значений Q и , с которыми распадные квазичастицы (продукты распада) рождаются вблизи порога. Основным для излагаемой ниже теории является утверждение, что эта область значений 4-импульса не является особой для функции Грина в ней она имеет обычный полюсной вид

где функция -энергия распадных квазичастиц не имеет особенностей. Физическая выделенность этой области состоит лишь в том, что в ней квазичастица могла бы «слипнуться» с другой квазичастицей; но этот процесс невозможен при нуле температуры ввиду отсутствия реальных возбуждений. Особой областью для функции Грина являются лишь значения Р (внешние линии диаграмм (35,1)) вблизи порога распада исходной квазичастицы.

Двум соединительным линиям на диаграмме (35,1) отвечают множители а по Q производится интегрирование. При этом, ввиду существенности лишь малой области значений Q, остальные множители в диаграмме можно считать при интегрировании постоянными, равными их значению при пороговом значении Таким образом, в диаграмме возникает множитель, выражающийся интегралом

где . Интегрирование по выполняется путем замыкания пути интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в одной из полуплоскостей комплексного и дает

К исследованию этого интеграла мы вернемся ниже, а теперь надо выразить через него искомую точную функцию просуммировав для этого все диаграммы вида (35,1).

Для функции G(Р) можно написать диаграммное уравнение Дайсона

Здесь жирные линии изображают точную функцию Ш, а светлые — «неособую» часть этой функции, определяемую совокупностью диаграмм, «неделимых по двум линиям». Второй же член в правой части (35,4) изображает совокупность диаграмм вида (35,1). При этом светлый кружок представляет точную «трехконцевую» вершинную функцию (обозначим ее ), а заштрихованный ее неособую часть, из которой исключены диаграммы, могущие быть рассечены по двум сплошным линиям. Как было объяснено выше, интегрирование по приводит к появлению множителя , причем остальные множители в диаграмме заменяются их значением при Таким образом, равенство (35,4) означает, что

где -некоторые регулярные (вблизи порога функции.

В (35,5) фигурируют две особые функции - G и , и для выражения их через П необходимо поэтому еще одно уравнение. Мы получим его, заметив, что точная вершинная функция Г представляется рядом «лестничного» вида

аналогичным ряду (17,3) для четырехконцевой вершинной функции. Его суммирование приводит к уравнению

(ср. (17,4)); в аналитическом виде, при оно дает

где — регулярные функции.

Исключив теперь из двух полученных уравнений, найдем искомое выражение функции Грина через П:

где А, В, С — снова регулярные (вблизи функции.

Дальнейшие вычисления различны для разных типов распадов квазичастиц.

а) Порог распада на два ротона

В этом случае энергия распадных частиц вблизи порога дается формулой (22,6), и интеграл (35,3) принимает вид

Для интегрирования вводим новые переменные согласно определению,

причем ось z направлена вдоль , а угол определен равенством Вблизи порога малы, и с нужной точностью имеем

Зыражение в фигурных скобках в (35,7) принимает вид

и после повторной замены переменных

находим, интегрируя по

Расходимость этого интеграла при больших связана лишь со сделанными пренебрежениями и несущественна; обрезание интеграла при некотором значении даст вклад лишь в регулярную часть П. Интересующая же нас особая часть этой функции возникает от области вблизи нижнего предела интегрирования, и для нее находим

При малых значениях этот логарифм велик; подставив (35,8) в (35,6) и разложив по его обратным степеням, получим

где а, b, с — новые регулярные функции от . В пороговой точке ) энергия распадающейся квазичастицы равна Поскольку энергия квазичастиц определяется нулями функции , то это значит, что а для этого должно быть и . Но регулярная функция b () разлагается по целым степеням разностей заменив также регулярные функции их значениями в пороге, получим в результате следующее выражение функции Грина в околопороговой области:

где — постоянные.

Приравняв это выражение нулю, мы получим вид спектра вблизи порога. Если область невозможности распада лежит при то постоянные а и а должны быть положительными и уравнение имеет здесь незатухающее решение

Мы видим, что кривая спектра подходит к пороговой точке с горизонтальной касательной бесконечного порядка. В области же уравнение не имеет ни вещественных, ни комплексных решений с при . В этом смысле кривая спектра вообще не продолжается за пороговую точку, оканчиваясь в ней.

б) Порог распада на две квазичастицы с параллельными импульсами

Поскольку в пороговой точке, при выражение как функция от q, должно иметь минимум, то вблизи порога оно имеет вид

(35,11)

где - постоянные; есть скорость каждой из рождающихся в пороговой точке распадных квазичастиц, — импульс одной из них.

Подставив (35,11) в (35,3) и введя новые переменные интегрирования согласно

получим

Этот интеграл имеет в пороговой точке корневую особенность:

Подставив это выражение в (35,6), находим гриновскую функцию в околопороговой области

Так как а А и В — регулярные функции, то, разлагая последние по степеням и окончательно находим

(35,13)

где - постоянные.

Вид спектра определяется уравнением Ищем его решение в виде для того чтобы оно существовало при должно быть а и тогда

(35,14)

При том же условии в области уравнение не имеет решений с при . Таким образом, и в этом случае спектр обрывается в пороговой точке.