§ 60. Симметрия состояний электрона в решетке в магнитном поле

В этом параграфе мы рассмотрим точные общие свойства трансляционной симметрии волновых функций блоховского электрона в магнитном поле, не связанные с каким-либо приближением (вроде условия слабости поля или условия квазиклассичности).

Наложение однородного магнитного поля не меняет физической трансляционной симметрии Системы: она остается периодической в пространстве. Своеобразие ситуации состоит, однако, в том, что в то же время гамильтониан электрона (56,2) теряет свою симметрию. Это связано с тем, что в гамильтониан входит не постоянная напряженность Н, а векторный потенциал , зависящий от координат и не обладающий периодичностью.

Неинвариантность гамильтониана приводит, естественно, к усложнению закона преобразования волновых функций при трансляциях. Выберем для векторного потенциала однородного поля калибровку

и пусть — некоторая собственная функция гамильтониана . При трансляции (а—какой-либо из периодов решетки) эта функция переходит в но это будет уже собственная функция гамильтониана , не совпадающего с , поскольку произошла замена векторного потенциала

Для нахождения искомого закона преобразования надо вернуться к исходному гамильтониану, что достигается калибровочным преобразованием

При этом волновая функция преобразуется согласно (56,4):

Обозначив результат всех этих операций как находим, таким образом,

где назовем оператором магнитной трансляции. Если - решение уравнения Шредингера , то и (60,2) есть решение того же уравнения, относящееся к той же энергии (R. Peierls, 1933).

Из определения (60,2) легко заключить, что

При перестановке а и а' показатель степени в множителе меняет знак; поэтому операторы и , вообще говоря, не коммутативны:

Таким образом, произведение двух операторов отличается вообще говоря, фазовым множителем от оператора По математической терминологии это означает, что операторы Та осуществляют не обычное, а проективное представление группы трансляций; базисом этих представлений являются волновые функции стационарных состояний блоховского электрона в магнитном полег). Классификация уровней энергии должна производиться, следовательно, по неприводимым проективным представлениям группы трансляций, подобно тому как в отсутствие поля она производится по неприводимым обычным представлениям этой группы.

Напомним в этой связи, что группа трансляций — абелева (все ее элементы коммутативны), а потому все ее неприводимые обычные представления одномерны. Функция базиса каждого такого представления при трансляции лишь умножается на некоторый фазовый множитель, причем для двух последовательных трансляций этот множитель должен быть равен произведению множителей для каждой трансляции в отдельности. Это значит, что

где к — постоянный вектор; этот вектор (квазиимпульс электрона) оказывается параметром, классифицирующим неприводимые представления.

Полная классификация неприводимых проективных представлений группы трансляции может быть произведена (Е. Brown, 1964; J. Zak, 1964) в случае, когда магнитное поле удовлетворяет условию

где — любые два взаимно простых целых числа; -один из трех произвольно выбранных основных периодов решетки — объем элементарной ячейки решетки).

Другими словами, магнитное поле должно быть направлено вдоль какого-либо периода решетки, а величина должна быть рациональным числом. Умножив равенство (60,5) на можно представить это условие также и в виде

Для классификации неприводимых проективных представлений группы трансляций существенно, что из этой группы можно выделить подгруппу (будем называть ее магнитной), по отношению к которой представление является не проективным, а обычным. При соблюдении условия (60,6) такой подгруппой является совокупность трансляций вида

(60,7)

с целочисленными коэффициентами . Действительно, когда вектор h направлен вдоль и удовлетворяет условию (60,6), для всех трансляций такого вида показатель экспоненты в (60,3) обращается в нуль или в кратное от так что все множители Совокупность трансляций (60,7) образует решетку с основными периодами (назовем ее магнитной). Магнитная же обратная решетка соответственно имеет периоды где — периоды основной обратной решетки.

Обычные неприводимые представления магнитной подгруппы, как и группы трансляций в целом, одномерны; они характеризуются волновыми векторами (квазиимпульсами) К, все неэквивалентные значения которого заключены в одной ячейке магнитной обратной решетки.

Пусть - функция базиса одного из таких представлений с квазиимпульсом . Для нее

При трансляции же на период (не входящий в магнитную подгруппу) получим из функцию с другим квазиимпульсом. Для его определения пишем, используя (60,4) и (60,8):

или окончательно

где

(в последнем равенстве подставлено (60,5) и введен период обратной решетки Далее надо различать случаи нечетных и четных значений .

Пусть q-нечетное число. Повторив трансляцию на еще раз, получим всего q различных функций с квазиимпульсами

Вычитанием надлежащего целого кратного вектора эти значения приводятся (в той или иной последовательности) к значениям

(60,10)

Эти q функций и осуществляют -мерное неприводимое проективное представление группы трансляций. Мы получим все неэквивалентные представления, когда К пробегает значения в ячейке со сторонами (квазиимпульсы же ), пробегают при этом значения в ячейке со сторонами

Пусть теперь -четное число. Тогда в последовательности (60,9) уже значение, равное отличается от К лишь целым кратным периодов обратной решетки b. Другими словами, имеется всего неэквивалентных значений k; они даются выражением (60,10) с вместо q. Таким образом, в этом случае неприводимые представления -мерны, причем К пробегает значения в ячейке со сторонами .

Эти результаты позволяют сформулировать следующее заключение о характере изменения энергетического спектра электрона в решетке при наложении на нее магнитного поля (удовлетворяющего условию (60,5)). В отсутствие поля спектр состоит из дискретных энергетических зон, в каждой из которых энергия является функцией квазиимпульса, пробегающего значения в одной ячейке обратной решетки.

При наложении поля такая зона расщепляется на q подзон, в каждой из которых все уровни энергии вырождены с кратностью q при нечетном или при четном q. Энергия в подзоне может быть выражена как функция вектора К, пробегающего значения в 1/2-й (при нечетном q) или (при четном q) части ячейки обратной решетки.

Описанная картина в определенном смысле крайне чувствительна к величине и направлению магнитного поля. Действительно, сколь угодно близко к значению Н, удовлетворяющему условию (60,5) с некоторыми , лежат значения, удовлетворяющие такому же условию, но с гораздо большими q, так что путем сколь угодно малого изменения поля число подзон можно сделать сколь угодно большим. Подчеркнем, однако, что это отнюдь не означает такой же неустойчивости в наблюдаемых физических свойствах. Последние определяются не столько конкретной зонной структурой, сколько распределением числа состояний по малым, но конечным интервалам энергий; это распределение мало меняется при малом изменении поля. Дело в том, что сильно меняется не энергия состояний, а лишь их классификация ввиду изменения области определения квазиимпульса.