§ 71. Магноны в ферромагнетике. Термодинамические величины

Возбужденные в ферромагнетике магноны вносят определенный вклад в его термодинамические величины. Полученные в предыдущем параграфе результаты позволяют вычислить этот вклад при температурах, низких в том смысле, что Действительно, в тепловом равновесии при температуре Т основная часть магнонов имеет энергии Для квадратичного спектра

это значит, что при температурах возбуждены магноны с квазиимпульсами Воспользовавшись оценкой (69,7) для а и оценив намагниченность как (на одну элементарную ячейку приходится магнитный момент порядка нескольких Р), находим отсюда , т. е. условие применимости результатов § 70.

«Магнонные» части термодинамических величин ферромагнетика вычисляются как термодинамические величины идеального бозе-газа с равным нулю химическим потенциалом. Так, для магнонной части термодинамического потенциала имеем

(см. V (54,4)). Отсюда для магнонного вклада во внутреннюю энергиюх)

Магнонный же вклад в спонтанную намагниченность дает ее изменение с температурой. Он вычисляется Как производная

по внешнему магнитному полю (ср. VIII (31,4)). Дифференцируя выражение (71,2), получим

Производная — представляет собой собственный магнитный момент магнона.

Вычислим интегралы (71,3-4) при температурах тогда для спектра магнонов можно пользоваться предельным выражением (71,1). В виду быстрой сходимости интегралов интегрирование можно распространить по всему -пространству (вместо одной ячейки обратной решетки). Полагая величину а постоянной (для кубических кристаллов) и заменив после очевидной подстановки получим

где для краткости обозначено (так что ). Для теплоемкости находим отсюда

Напомним, что это выражение дает лишь магнонную часть теплоемкости; наряду с ней теплоемкость кристалла содержит еще и обычную фононную часть.

Обращаясь к интегралу (71,4), подставляем, согласно (70,11) значение для магнитного момента магнона. В результате при получим

откуда

(магнонный вклад исчерпывает, конечно, все изменение намагниченности, поскольку фононы не несут с собой магнитного момента). Таким образом, изменение спонтанной намагниченности в области температур следует закону (F. Bloch, 1930).

Наличие щели (70,10) в спектре магнонов приводит к экспоненциальной зависимости Смаг и от в области еще более низких температур. При

Величина, стоящая в числителе экспоненты, — наименьшее значение энергетической щели, достигаемое при (см. также задачу 1).

Если спонтанная намагниченность ферромагнетика в основном состоянии равна наибольшему возможному (как говорят, номинальному) значению, отвечающему параллельности всех атомных моментов в теле, то это значение уже не изменится при наложении (в том же направлении) внешнего магнитного поля, т.е. восприимчивость в этом направлении равна нулю.

Учет релятивистских взаимодействий уменьшает спонтанную намагниченность (при по сравнению с ее «обменным» значением и приводит к появлению отличной от нуля восприимчивости (Т. Holstein, Н. Primakoff, 1940). Хотя этот эффект и очень мал, его вычисление представляет принципиальный интерес.

При вычислении выше магнитной части термодинамических величин мы опустили нулевую энергию «магнитных осцилляторов», не дающую вклада в температурную зависимость этих величин. Нулевая энергия отвечает числам заполнения магнонных состояний, равным 1/2:

Соответственно для «нулевой» намагниченности имеем

Этот интеграл расходится при больших k, т. е. он определяется главным образом коротковолновыми магнонами , которые вообще нельзя рассматривать макроскопически. Однако изменение намагниченности под влиянием релятивистских эффектов определяется, как мы увидим, длинноволновой областью спектра магнонов и может быть вычислено с помощью полученных в § 70 формул.

Для простоты будем рассматривать кубический кристалл и пренебрежем малой в этом случае константой анизотропии, т. е. будем писать спектр магнонов (70,10) в виде

(71,10)

где релятивистским эффектам отвечает в этом выражении член , возникающий от учета магнитостатической энергии. Искомое изменение намагниченности под влиянием релятивистских эффектов получается вычитанием из (71,9) такого же интеграла с вместо :

Этот интеграл уже сходится при больших .

Для вычисления удобно сначала продифференцировать его по М при постоянном b (для этого и введено обозначение b в (71,10)). После простых преобразований получим

Ввиду сходимости интегрирование можно распространить до

При интеграл легко вычисляется; интегрируя затем по М, получим

Эта величина очень мала: .

Если же внешнее поле велико ; можно пренебречь членом в знаменателе подынтегрального выражения. После этого вычисление приводит к результату

При стремится, как и следовало, к нулю.

В заключение отметим, что если бы мы попытались тем же способом, который был применен в этом параграфе к трехмерному случаю, рассмотреть температурную зависимость намагниченности двумерного ферромагнетика, то (в чисто обменном приближении) мы получили бы вместо (71,6) логарифмически расходящийся интеграл. Это означает, что спонтанное намагничение в двумерной системе с обменным взаимодействием в действительности отсутствует при всех . Эта ситуация аналогична той, которая была отмечена в § 27 для двумерной бозе-жидкости (и в V § 137 — для двумерного кристалла). Независимость энергии системы от направления магнитного момента приводит к тому, что в ее выражение входят только производные вектора М; в свою очередь, это приводит, в конечном итоге, к расходимости флуктуаций (в двумерном случае), разрушающих намагничение. Учет релятивистских взаимодействий, зависящих от направления М, стабилизирует флуктуации и делает возможным существование двумерного ферромагнетика.