5.3. Представление Мандельстама.

Из приведенных примеров видно, что использование условия унитарности для мнимых частей неизбежно приводит к необходимости изучения аналитических продолжений амплитуд в нефизические области. Аналитические свойства амплитуд рассеяния по каждой из переменных s, u, t в отдельности нами уже упоминались. Мы видели, что все три капала описываются одной и той же функцией Грина на массовой поверхности f(s, u, t). Оказывается возможным допустить существование таких аналитических свойств функции f(s, u, t) одновременно по всем ее аргументам, так что все одномерные д. с., а также аналитически продолженные условия унитарности являются следствиями этих свойств. Мы имеем здесь в виду так называемое двойное дисперсионное представление Мандельстама (1958, 1959).

Это представление имеет вид

Вещественные области интегрирования были схематически показаны на рис. 13. Представление (5.8) имеет вид, аналогичный рассмотренному выше квантовомеханическому представлению амплитуды рассеяния по s и t (2.29). Спектральные функции действительны; асимптотические границы областей Г при больших s, u или t и области интегрирования одномерных интегралов, так же как и в квантовой механике, определяются условиями двухчастичной унитарности в каждом канале. Интегралы в (5.8) — типа Коши; поэтому функция является аналитической в комплексном пространстве s, u, t, за исключением некоторых гиперплоскостей.

Амплитуды физических процессов являются граничными значениями функции при соответствующем стремлении переменных s, u, t к вещественным значениям. Например, для случая равных масс амплитуды канала I определяются при амплитуды канала II — при , амплитуды канала III — при .

Из представления (5.8) для при вытекают все три д. с. Получим, например, д. с. при фиксированном s. Для этого в последнем члене формулы (5.8) произведем преобразование

Здесь введена новая переменная интегрирования

Последний член в (5.8) распадается на два интеграла. Объединяя первый из них со вторым и четвертым членами (5.8), а второй с третьим и пятым членами, представим (5.8) в виде

где

Формула (5.10) представляет искомое д. с. при фиксированном s. Формулы (5.11) определяют аналитические свойства по переменной s. В физических областях соответствующих реакций они являются действительными функциями и совпадают с мнимыми частями физических амплитуд рассеяния. В общем случае они являются комплексными функциями и поэтому называются абсорбтивными частями функции

Подобно тому как это было сделано в § 2, с помощью формул (5.11) можно перенести условия унитарности для функций в их физических областях на спектральные функции р. Эти условия спектральной унитарности позволят определить точные границы областей в которых спектральные функции отличны от нуля. Для интересующих нас процессов эти границы будут обсуждаться ниже (см. §§ 8, 23). Свойства кроссинг-симметрии для функции и, t) приводят к определенным взаимным связям между спектральными функциями.