13.2. Некоторые общие свойства решений.

Из этих уравнений вытекает, что предположение приводит к логарифмическому росту при . Поэтому

Непосредственной проверкой нетрудно убедиться в том что уравнения (13.4) или (13.8) допускают следующие виды асимптотик при

Для того чтобы показать, что более сильное степенное убывание невозможно, представим (13.4) в виде

вдесь

и

В пределе

Для убывания более быстрого, чем необходимо, чтобы

и чтобы компенсировали отрицательные вклады во всех трех волнах. Это невозможно из-за того, что разных знаков. Отсюда видно также, что асимптотика (в) может осуществляться лишь при дополнительном условии

Подставляя асимптотику (а) в уравнения (13.4), с помощью условия унитарности (13.5) получаем для систему уравнений

которая имеет единственное вещественное решение

Коэффициенты асимптотики (б) определяются из условия кроссинг-симметрии:

Если ограничиться решениями, имеющими асимптотики (13.10), то исследуемые уравнения (13.4) имеют смысл без вычитания, причем условие (13.7) дает

В этом случае параметр выражается в явном виде через интегралы от мнимых частей парциальных амплитуд:

Из (13.4) вытекает, что величины положительны. С учетом (13.13) это приводит к важному выводу о положительности длин рассеяния -волн:

Отметим, что этот факт, вообще говоря, не зависит от двухчастичного приближения и опирается лишь на предположение о справедливости невычтенных д. с. для рассеяния вперед.

Аналогичная оценка для «длины рассеяния» р-волны может быть сделана лишь при некоторых правдоподобных предположениях о характере решения. Так, считая, что кроссинг-интеграл для р-волны в окрестности порога может быть аппроксимирован выражением

получаем

Асимптотическое поведение решений (13.10), а также положительность длин рассеяния (13.15) и (13.16) позволяют сделать заключение о четности суммы нулей и резонансов для каждой из парциальных амплитуд (табл. 2).

В отличие от нейтральной модели, систему (13.4) — (13.7) не удается решить точно в аналитическом виде. Однако ее можно исследовать различными приближенными методами. При этом оказывается, что аналогично нейтральному случаю существуют решения, зависящие от различного числа параметров. Простейшее решение зависит от одного параметра , введенного в .

Таблица 2

Это решение, подобно тому как это имело место для нейтральной модели (§ 11.4), находится в близком соответствии с рядом теории возмущений, основанной на лагранжиане

Поэтому в первую очередь мы исследуем именно его.