§ 2. Задача рассеяния в квантовой механике

2.1. Дисперсионные соотношения.

В этом параграфе мы рассмотрим постановку задачи рассеяния в квантовой механике для определенного класса потенциалов, акцентируя внимание на переформулировке этой задачи в терминах аналитических свойств амплитуды рассеяния. Рассмотрение задачи рассеяния с этой точки зрения потребуется для того, чтобы понять смысл гипотез, определяющих свойства амплитуды рассеяния в теории поля. Кроме того, здесь будет продемонстрирована математическая техника исследования такого рода задач, которая с небольшими изменениями переносится в теорию поля.

В квантовой механике задача рассеяния полностью определяется заданием потенциала в уравнении Шредингера

Решить эту задачу — значит найти такое решение уравнения Шредингера, которое при имеет поведение

Здесь — угол рассеяния, т. е. угол между волновым вектором определяющим направление начального движения частицы, и волновым вектором , направленным по вектору на прибор, измеряющий рассеянные частицы. Поскольку выполняется закон сохранения энергии, то

Величина называется амплитудой рассеяния. Как известно, она может быть связана с матричным элементом матрицы рассеяния

соотношением

Так как начальный поток частиц равен v (v — скорость частиц вдоль ), а поток на единицу телесного угла согласно (2.2) равен то дифференциальное сечение есть

Дифференциальное уравнение (2.1) и краевое условие (2.2) можно объединить в интегральное уравнение. Для этого нужно воспользоваться функцией Грина уравнения Шредингера, описывающего свободно движущуюся частицу, которая при больших дает расходящуюся волну:

Тогда волновая функция удовлетворяет интегральному уравнению

Так как при больших — и мы предполагаем, что область, в которой потенциал существенно отличен от нуля, конечна, то

Следовательно, зная мы можем вычислить амплитуду рассеяния по формуле

Используя эти интегральные представления для амплитуды рассеяния, можно рассмотреть ее аналитические свойства по переменным и . Если потенциал достаточно сильно убывает на бесконечности, то амплитуда рассеяния является аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексной плоскости к. Мы получим это свойство для каждого члена разложения амплитуды по (Вонг (1957)). Далее, предполагая, что ряд по степеням сходится равномерно, это свойство аналитичности можно перенести на амплитуду рассеяния в целом.

Для простоты будем предполагать, что потенциал такой, что не существует связанных состояний. Впрочем, есть соответствующее доказательство аналитичности амплитуды рассеяния и без использования борновского разложения, принадлежащее Хури (1957). Используя (2.6), запишем член амплитуды рассеяния в виде

Такое представление удобно тем, что переменная к входит только в экспоненту.

Так как и потенциал зависит только от амплитуда рассеяния является функцией переменных и . Введем вектор передачи импульса

и перейдем к новой переменной

Рассмотрим подынтегральную экспоненту. При рассеянии вперед . В этом случае экспонента имеет вид

Из неравенства для суммы сторон многоугольника следует, что действительная часть показателя экспоненты отрицательно определена, когда к .

Поэтому интеграл (2.6) существует в верхней полуплоскости комплексной плоскости к, равно как и все производные по . При этом следует отметить, что мы рассматриваем только физические потенциалы, т. е. такие, которые при больших стремятся к нулю. Поэтому аналитическая функция в верхней полуплоскости. Благодаря сходимости ряда (2.7) это свойство можно перенести на всю амплитуду рассеяния вперед . Теперь амплитуду можно представить в виде интеграла Коши:

Контур Г изображен на рис. 3.

Если амплитуда при больших убывает достаточно быстро, так что интеграл по большой полуокружности стремится к нулю, то контур Г вырождается в прямую вдоль действительной оси. В противоположном случае теорему Коши следует применять для функции , где — полином по такой степени, что интеграл по большой полуокружности

Рис. 3.

исчезает при стремлении ее радиуса к бесконечности.

Будем считать, что потенциал — действительная функция , т. е. что процесс рассеяния идет без поглощения. Тогда из (2.6) для действительных к следует

Физическое значение амплитуды рассеяния достигается, когда . В этом случае, используя соотношение (2.10), а также символическое равенство легко получить следующее выражение:

Здесь и ниже символ означает главное значение интеграла Коши.

Такого рода соотношение между действительной и мнимой частями амплитуды рассеяния называется дисперсионным соотношением. Можно также получить так называемое обратное дисперсионное соотношение:

Рис. 4.

Мы покажем дальше (см. (2.17)), что оптическая теорема связывает функцию с полным сечением рассеяния. Поэтому соотношения (2.11) и (2.12) можно непосредственно проверить экспериментально. Формулу Коши (2.9) можно также рассмотреть в плоскости (т. е. в комплексной плоскости энергетической переменной ). В этом случае верхняя полуплоскость отображается на всю комплексную плоскость v. Линия интегрирования превращается в линию . На рис. 4 изображен контур интегрирования вплоскости V. При условии (2.10) аналитические свойства амплитуды рассеяния вперед в плоскости v будут выражаться следующей формулой:

где v — комплексная величина.

При выводе д. с. (2.11) и (2.12) мы полагали, что амплитуда рассеяния убывает на бесконечности достаточно быстро. Однако из (2.6) нетрудно видеть, что первый борновский член амплитуды рассеяния вперед является постоянной действительной величиной, отличной от нуля, в то время как остальные члены борновского разложения убывают по крайней мере как .

Поэтому все вышеизложенные рассуждения справедливы для функции . Вместо (2.11) мы получим

Соотношения типа (2.11) и (2.13) встречаются не только в квантовой механике, но также и в тех областях физики, где существует конкретная связь между процессом поглощения энергии, характеризуемым функцией F, и испускания (функция ):

Тогда временная зависимость между этими процессами представляется интегралами типа свертки:

Д. с. для фурье-образа функции , характеризующей внутренние свойства системы, являются следствием следующего условия причинности: невозможно испускание энергии системой раньше, чем произойдет ее поглощение, т. е. когда . Это условие естественно, когда в системе взаимодействие переносится с конечной скоростью или когда можно образовать волновые пакеты, строго локализованные в некоторой области. Поскольку при то функцию можно аналитически продолжить в верхнюю полуплоскость и получить д. с. (2.11) и (2.13), если — действительная функция.

Условие возможности такого рода продолжения в квантовой механике несколько отличается от сформулированного выше условия причинности. Дело в том, что для частиц с конечной массой нельзя сформировать строго ограниченный волновой пакет (как в случае прохождения света через вещество).

Кроме того, в квантовой механике нет ограничения на скорость распространения взаимодействия. Поэтому условие причинности в квантовой механике выглядит по-другому. Согласно Ван-Кампену (1953 а, б) в качестве условия причинности в квантовой механике выступает следующее требование: если система описывается волновой функцией, нормированной так, что в единице объема имеется одна частица, то в любой момент времени t вероятность нахождения этой частицы вне рассеивателя 1. В математическом формализме это соответствует тому, что выше мы использовали переход к стационарному случаю в уравнении Шредингера и выбрали функцию Грина, соответствующую расходящейся волне. В квантовой теории поля условие причинности выглядит следующим образом: события в двух точках, разделенных пространственно-подобным четырехинтервалом не коррелируют друг с другом при включении взаимодействия, иными словами, взаимодействие не может распространяться быстрее скорости света в вакууме. Можно назвать еще ряд примеров, где д. с. основаны на условии причинности такого рода: например, прохождение света через вещество, частотная зависимость диэлектрической проницаемости и т. д. Таким образом, мы видим, что д. с. для амплитуды рассеяния вперед основаны на весьма общих свойствах физической системы и в общем не являются привилегией квантовой теории.

Однако в квантовой механике существует более сильный результат, касающийся аналитических свойств амплитуды рассеяния к функции двух переменных и Зафиксируем разность и рассмотрим аналитические свойства амплитуды рассеяния как функции к. Экспонента в выражении (2.6) примет вид

Угол между векторами нужно выразить через углы между векторами и и и , так как вектор фиксирован:

— угол между плоскостями, содержащими векторы и и векторы и . Таким образом, экспонента может быть приведена к виду

Если теперь рассматривать выражение (2.6) в верхней полуплоскости комплексной плоскости , то действительная часть экспоненты (2.14) не будет отрицательно определена. Дело в том, что существует неравенство

в справедливости которого нетрудно убедиться графически. Поэтому существуют такие области интегрирования в (2.6) по когда действительная часть предпоследнего члена в (2.14) больше нуля и больше абсолютного значения действительной части последнего члена. Следовательно, интеграл (2.6) в верхней комплексной полуплоскости может расходиться. Во всех вышеизложенных рассуждениях мы не конкретизировали поведение потенциала при больших . Если теперь предположить, что при больших асимптотически сделать гипотезу о характере взаимодействия, то ситуация с аналитическим продолжением по к при фиксированной передаче импульса не будет столь безнадежной. Действительно, существует неравенство

когда .

Учитывая поведение потенциала при больших , к показателю экспоненты (2.14) в (2.6) следует приписать член . Поэтому, когда действительная часть показателя экспоненты становится отрицательно определенной и продолжение амплитуды рассеяния в верхнюю комплексную полуплоскость не представляет никаких трудностей.

Соответствующее дисперсионное соотношение при примет вид

Поскольку

то область интегрирования по в (2.15) от 0 до является нефизической. Чтобы использовать д. с. (2.15) для решения задачи рассеяния, надо знать, можно ли мнимую часть амплитуды аналитически продолжить в эту область, а если можно, то как это сделать.

Для этого нужно рассмотреть аналитические свойства амплитуды рассеяния по или . Основой исследования является следующая математическая теорема: если функция от аналитична внутри некоторого эллипса с фокусами то она может быть разложена внутри этой всей области в сходящийся ряд по полиномам Лежандра. В Приложении 1 доказано, что мнимая часть амплитуды рассеяйия аналитична по в эллипсе с фокусами в точках и с большой полуосью, равной (Челлен (1950)). Тогда согласно этой теореме мы можем в этой области разложить мнимую часть амплитуды рассеяния в сходящийся ряд по полиномам Лежандра. Коэффициенты разложения этого ряда являются функциями от к инаэываются парциальными амплитудами или парциальными волнами рассеяния:

Парциальные амплитуды удобны в тех случаях, когда нужно использовать условие унитарности, о котором речь пойдет ниже.

В переменных область аналитичности амплитуды рассеяния по определяется неравенством

Поскольку д. с. (2.15) справедливы при , то подынтегральное выражение в них определено во всей области интегрирования по .