2.8. Шум в линейной модели

Как было только что показано, аддитивный шум появляется в системе фазовой автоподстройки частоты после синусоидальной нелинейности (см. рис. 2.9). Вследствие этого, если фазовая ошибка можно воспользоваться приближенным соотношением как это делалось в отсутствие шума. Конечно, в рассматриваемом случае ошибка зависит как от модуляции принимаемого сигнала, Так и от шума . При использовании такого приближения

схему, изображенную на рис. 2.9, можно заменить схемой линеаризированной модели, изображенной на рис. 2.10. Поскольку речь идет о линейной системе, применим принцип суперпозиции, и можно независимо определить влияние шума и влияние модуляции, а затем скомбинировать полученные результаты. Влияние модуляции уже было рассмотрено в § 2.6.

Рис. 2.10. Линеаризированная модель с учетом аддитивного шума.

Рассуждая точно таким же образом, можно найти, что при воздействии шума причем средние значения обоих процессов равны нулю и процессы стационарны в установившемся состоянии (т. е. при ), а их энергетические спектры равны

где энергетический спектр шума.

Если напомнить, что согласно § 2.3 передаточная функция системы равна

и если шум белый с односторонней спектральной плотностью , то и формула (2.50) переходит в

Отсюда находив дисперсию фазовой ошибки, вызываемой шумом:

Определим шумовую полосу системы согласно следующему соотношению:

Тогда дисперсию фазовой ошибки в установившемся состоянии можно представить в виде

Таким образом, шумовая полоса BL определяется как полоса частот идеального фильтра низких частот, дисперсия процесса на выходе которого равна если на вход воздействует белый шум с односторонней спектральной плотностью

Так как вызываемая шумом фазовая ошибка независима от ошибки, создаваемой модуляцией, дисперсия установившегося значения фазовой ошибки при воздействии модуляции и шума равна сумме величин (2.43) и (2.52). Таким образом,

Метод вычисления среднего значения фазовой ошибки приведен в § 2.4.

Шумовая полоса при различных характеристиках фильтров вычисляется из (2.53) для каждой из передаточных функций замкнутой петли регулирования. Проще всего это вычисление производится, если заметить, что интеграл

(2.53) можно представить в виде

Так как согласно (2.25)

то интеграл можно представить как интеграл по контуру, образованному мнимой осью и окружностью бесконечного радиуса, охватывающей левую полуплоскость. Если представляет рациональную функцию, то полоса равна половине суммы вычетов, расположенных в левой полуплоскости для произведения Значения полосы шума для систем первого, второго и третьего порядков приведены в табл. 2.2.

Таблица 2.2. Шумовая полоса для систем первого, второго и третьего порядков

Следует еще раз подчеркнуть, что проведенное в данном параграфе рассмотрение пригодно только для случая

так как линейная модель применима только при соблюдении этого условия. Как будет показано в гл. 4, применение линейной модели обеспечивает достаточно хорошую точность вычислений, если .