7.2. Некогерентный прием

В этом параграфе будет предполагаться, что любое значение фазы переданного сигнала равновероятно, т. е. что априорная плотность вероятности равна

Как показано в приложении А, узкополосный шум можно представить в виде

где

а корреляционные функции квадратурных составляющих одинаковы:

Взаимная корреляционная функция этих процессов

Принимаемый сигнал равен

Его можно представить в виде

где

Если энергетический спектр процесса пренебрежимо мал для частот ниже и выше и если известна точно, то процессы можно определить из процесса , пропустив через низкочастотные фильтры, полосы которых равны Хотя предполагалось, что фаза является случайной величиной, найдем сначала апостериорную вероятность того, что передан сигнал если точно известна и принят сигнал [или, что эквивалентно, сигналы ]. Эта вероятность равна

где все векторы -мерные и представляют выборки соответствующих сигналов. Теперь вычислим среднее по Тогда

Используя (7.23), (7.24) и (7.25), получим

где

и С представляет все члены, не зависящие от . Если определить векторы - при помощи системы уравнений

или, что эквивалентно,

то (7.28) примет вид

Тогда из (7.27) и (7.30) получим

где D представляет члены, не зависящие от .

Если теперь устремить , то формально получим

где являются решениями интегральных уравнений

которые получаются формально, как пределы соотношений (7.29).

Если предположить, что то последнее слагаемое в формуле (7.32) можно выразить через принимаемый сигнал . Далее, так как и, следовательно, представляют низкочастотные сигналы, то из замечаний, приведенных после формулы (7.25), следует, что можно в (7.32) заменить на на . Тогда получаем

где

и

Таким образом,

где

В частности, в случае некогерентного приема, когда плотность вероятности , правая часть (7.35) переходит в

где

Таким образом, при некогерентном приеме логарифм апостериорной вероятности (7.32) принимает вид

где

Величина определяется из (7.36), (7.35) и представляют детерминированные процессы, являющиеся решениями интегральных уравнений (7.33). Основанный на критерии максимума апостериорной вероятности обнаружитель производит сравнение выражения (7.37) при . Схема его показана на рис. 7.3, а. Устройство, определяющее в общем случае, называется корреляционным обнаружителем по огибающей.

Это устройство можно также выполнить приближенно при помощи линейного инвариантного во времени фильтра и нелинейного устройства — детектора огибающей. Рассмотрим

линейный фильтр, импульсная переходная функция которого равна

При воздействии на его вход принимаемого процесса сигнал на выходе в момент Т равен

Детектор огибающей представляет устройство, на выходе которого получается значение квадратного корня из суммы квадратов входного сигнала и сигнала со сдвинутой на 90° относительно него фазой.

Рис. 7.3. Элемент оптимального обнаружителя для некогерентного приема: общий случай (а) и частный случай (б).

Если процессы имеют полосы частот, малые по сравнению с , то после прохождения сигнала с выхода фильтра через такое устройство получается приближенное значение в момент Т.

В наиболее важном случае помехи достаточно широкополосны, так что составляющие можно считать белым шумом; сигналы равновероятны и энергии их равны.

Тогда

так что из (7.33) имеем . Из (7.34) и (7.1) получаем

и из (7.37)

где представляет энергию сигнала. Тогда если , то все слагаемые в (7.37), кроме последнего, не зависят от j. Более того, так как монотонно возрастающая функция R), то операции извлечения квадратного корня и получения значения функции можно опустить, как показано на схеме рис. 7.3, б. Другими словами, в этом случае приемник, основанный на критерии максимума апостериорной вероятности, должен лишь выполнять сравнение выбирать решение, соответствующее большему из них.

Теперь можно было бы рассмотреть качество некогерентного приемника и найти для этой цели вероятность ошибки. Однако в следующем разделе будет рассмотрен более общий метод приема, включающий и когерентный и некогерентный методы как предельные случаи. Там будет определено качество для общего случая и качество некогерентного приемника будет найдено путем перехода к соответствующему пределу.