4.7. Система первого порядка со случайной модуляцией

Уравнение (4.1) для системы первого порядка при модулированном сигнале принимает вид

Предположим, что сигнал промодулирован по частоте и что собственная частота управляемого генератора равна несущей частоте сигнала, т. е. . Тогда и уравнение (4.90) переходит

Если модулирующий процесс имеет такую широкую полосу частот, что его можно приближенно считать «белым» нормальным процессом, то получится такое же решение, как в § 4.3 при отсутствии модуляции, с той только разницей, что к энергетическому спектру шума прибавится энергетический спектр модулирующего процесса. Рассмотрим теперь простейший мыслимый вид модуляции. Пусть процесс будет стационарным нормальным процессом с нулевым средним и энергетическим спектром

Теперь уже не является марковским процессом, так как значение сигнала на входе в данный момент коррелировано с предыдущими значениями. Однако процесс является нормальным процессом, и его энергетический спектр совпадает с энергетическим спектром белого шума, прошедшего через фильтр низких частот. То есть представляет решение дифференциального уравнения

где представляет «белый» нормальный процесс с односторонней спектральной плотностью

Уравнения (4.91) и (4.92) можно переписать в виде

и

показывающем, что процессы являются составляющими двумерного марковского процесса, так как производные каждого из них являются функциями только значений обоих процессов в данный момент и значений «белых» нормальных процессов , и, конечно, процесс сам представляет однородный марковский процесс. Уравнение Фоккера — Планка для процессов можно вывести из (4.64) для определив коэффициенты (4.65) из (4.93) и (4.94), как это было сделано в § 4.6 для системы второго порядка. В результате получится уравнение Фоккера — Планка для

Вообще, если частотная модуляция производится нормальным процессом с рациональным энергетическим спектром и знаменатель имеет степень то размерность векторного марковского процесса увеличится на q. Если ограничиться рассмотрением стационарного распределения в основном интервале, то можно рассуждать таким же образом, как в § 4.6, и интегрировать Q в бесконечном интервале. Тогда, так как процесс Q нормальный, то

и

Таким образом, для стационарного случая уравнение (4.95) (в основном интервале ) имеет вид

и его неообходимо решить при граничных условиях (4.32)

Теперь, как и в случае уравнений (4.82) и (4.85) для системы второго порядка при отсутствии модуляции, мы сталкиваемся с задачей вычисления условного математического ожидания. Для этого необходимо знать условную плотность вероятности, а для ее определения необходимо найти решение двумерного уравнения Фоккера — Планка (4.95). Теперь можно рассуждать, как и прежде, в предположении, что условное математическое ожидание является линейной функцией :

Подставив (4.97) в (4.96), получим

где

Для отыскания или, что эквивалентно, используем опять линеаризирующее допущение степень приближения которого зависит от малости величины Подставив это соотношение и (4.97) в (4.96), получим решение в виде нормального процесса с нулевым средним и дисперсией . Но эту дисперсию можно вычислить непосредственно из линейной модели, используя метод, изложенный в § 2.8. В частности, подставив передаточную функцию системы первого порядка (см. табл. 2.1) и энергетический спектр модулирующего сигнала [см. (2.45)] в уравнение (2.55), получим дисперсию фазовой ошибки для линеаризированного случая. Тогда

Это и есть искомый параметр уравнения (4.98). Рассмотренный метод можно было применить и в случае системы второго порядка в § 4.6 для вывода соотношения (4.89).