7.1. Когерентный прием

В общем случае сигналы для передачи нуля или единицы можно обозначить следующим образом:

где

Все четыре функции являются известными функциями времени. Величина представляет известную частоту несущей, а фазу несущей. В этом параграфе предполагается,

гается, что известна точно (когерентный прием), так что и функции известны точно. Принимаемый сигнал тогда имеет вид

где равно либо нулю, либо единице и представляет стационарный нормальный шум с нулевым средним и положительно определенной корреляционной функцией . Приемник должен выработать решение, был ли передан сигнал или сигнал .

Положив в основу при выборе решения апостериорные вероятности рассмотрим вероятность того, что был передан сигнал если был принят сигнал у(t). Если будет принято решение, что передан сигнал , а если имеет место обратное неравенство, то решение, что передан сигнал . По существу этот критерий не отличается от критерия, рассмотренного в гл. 5 в связи с оценкой параметра при аналоговой демодуляции. Они отличаются только в том отношении, что при оценке параметра отыскивался максимум по континиуму возможных значений, а в рассматриваемом случае имеется лишь конечная совокупность, состоящая из двух элементов.

Критерий максимума апостериорной вероятности можно применить и к дискретной системе, потому что он вполне соответствует естественному критерию качества. Этим критерием является вероятность ошибочного решения, которую обозначим Пусть

Если основываться на критерии максимума апостериорной вероятности для выбора решения, то должно быть принято решение, что передан сигнал . Вероятность ошибки равна вероятности того, что передан сигнал и, поскольку сумма двух условных вероятностей равна единице,

С другой стороны, если выбрать решение, что передан сигнал то вероятность ошибки будет равна , а это вследствие неравенства (7.3) больше, чем (7.4). Таким образом, максимизация апостериорной вероятности совпадает с минимизацией вероятности ошибки и является наиболее разумным критерием качества.

При выборе решения можно положить в основу критерий, известный как байесовский критерий стоимости . Этот критерий по существу совпадает с рассмотренным в гл. 5 байесовским критерием оценки за исключением того, что стоимости в рассматриваемом случае приписываются конечной совокупности событий. Если стоимости обоих видов ошибок одинаковы, что в рассматриваемом случае является разумным, то этот критерий приводится к критерию максимума апостериорной вероятности.

Определение структуры приемника, вырабатывающего максимум вероятности производится способом, сходным со способом определения устройств, вырабатывающих оценки, рассмотренным в гл. 5. Пусть представляют априорные вероятности сигналов соответственно и допустим сначала, что наблюдения сигнала производятся лишь в моменты где . Тогда, обозначив имеем на основании формулы Байеса

Так как сигнал S; известен точно и шум нормальный, с нулевым средним и корреляционной функцией , то

где представляют выборочные значения шума и корреляционная матрица шума, элемент которой равен Тогда

где соответствуют членам, не зависящим от .

Если теперь определить

или, что эквивалентно,

и подставить в (7.7), то получим

Наконец, если предположить, что при постоянном , то формально выражения (7.8) и (7.9) будут стремиться к

и

Если обозначить

то решение, что передавался сигнал принимается, когда

Если выполняется неравенство, обратное (7.13), то принимается решение, что передавался сигнал Функция представляет, конечно, известную функцию, получаемую как решение интегрального уравнения (7.10).

В наиболее важном случае априорные вероятности одинаковы , шум белый с односторонней плотностью и энергии обоих сигналов одинаковы, т. е. . Тогда решение уравнения (7.10) равно , так что формула (7.13) принимает вид

Структура приемника в общем случае (7.13) и в частном случае (7.14) показана на рис. 7.1. Во втором случае приемник называется корреляционным обнаружителем .

Алгоритмы (7.13) и (7.14) могут быть реализованы при помощи инвариантных во времени линейных фильтров, на выходе которых берутся выборки в момент Т. Рассмотрим фильтр, импульсная переходная функция которого равна . Тогда при воздействии на его вход процесса при значение процесса на выходе фильтра в момент Т равно

и оно в точности совпадает с функционалами в формуле (7.13). В случае белого шума [см. (7.14)] импульсная переходная функция каждого из фильтров должна иметь вид

что представляет задержанный сигнал при обратном течении времени. Фильтр с такой импульсной переходной функцией называется согласованным с передаваемым сигналом.

Рис. 7.1. Оптимальный когерентный приемник: общий случай (а) и частный случай (б).

При исследовании качества оптимального обнаружителя мы предполагаем, что априорные вероятности равны. Хорошо известно, что двоичная последовательность независимых символов, с одинаковой вероятностью принимающих значения нуль и единица, содержит максимальное количество информации (один бит) на символ. Более того, при помощи методов кодирования Шеннона [1] или Хафмена [2] любую случайную стационарную двоичную последовательность неограниченной длины можно преобразовать в такую

последовательность. Если сигналы равновероятны априори, то разумно предполагать, что их энергия одинакова. Кроме того, исследование будет ограничено случаем белого шума. На самом деле все выводы могут быть распространены на общий случай, когда шум коррелированный произвольным образом и нормальный.

Перед тем как находить вероятность ошибок при применении только что определенного оптимального обнаружителя, необходимо вычислить основной параметр, являющийся мерой сходства обоих сигналов. Это их нормированное скалярное произведение

где

В силу неравенства Буняковского — Шварца ; если то и если , то . Очевидно, вероятность ошибки равна

где есть вероятность ошибки при передаче сигнала Если передается сигнал , то . Тогда из (7.14) имеем

где

и будучи линейными функционалами нормального процесса, представляют нормальные процессы.

Так как представляет белый шум с нулевым средним и односторонней спектральной плотностью , то из (7.15) имеем

Так как процесс Z нормальный с средним значением и дисперсией , то (7.17) принимает вид

где

Аналогично можно показать, что и, следовательно ,

Так как F(х) является монотонно возрастающей функцией своего аргумента, то видно, что вероятность ошибки при когерентном приеме в присутствии белого шума является

убывающей функцией отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума и возрастающей функцией нормированного скалярного произведения ,

Рис. 7.2. Сравнение вероятностей ошибок при когерентном, некогерентном и разностно когерентном приеме: 1 - когерентный прием (противоположные сигналы); 2 — когерентный прием (ортогональные сигналы); 3 — разностно когерентный прием (противоположные сигналы); 4 — некогерентный прием (ортогональные сигналы).

В частности, если выбрать сигналы противоположными, т. е. то (наименьшему значению) и, следовательно, при противоположных сигналах получаем

минимальную величину ошибки

Величина соответствующая (7.20), показана на рис. 7.2 как функция .