8.9. Вероятности ошибок для равноудаленных сигналов и граница качества для произвольных сигналов

Вероятность ошибки для любой совокупности равноудаленных сигналов связана простым соотношением с вероятностью ошибки для ортогональной совокупности.

Обозначим через при заданном значении отношения вероятность ошибки для совокупности равноудаленных сигналов, а через вероятность ошибки для ортогональной совокупности. Рассмотрим сначала случай, когда при всех .

Такая совокупность получается следующим образом. Пусть сигнал имеет вид

где образуют совокупность ортогональных сигналов с энергией .

Тогда энергия каждого из сигналов равна Е, и скалярные произведения для всех равны

Однако так как на протяжении последних секунд все сигналы одинаковы, то передача этой части ничего не дает и вероятность ошибки в точности равна вероятности ошибки при передаче ортогональной совокупности с энергией . Таким образом,

Рассмотрим теперь случай, когда . Каждый сигнал имеет энергию Е и длительность Т и

Предположим теперь, что получается новая совокупность сигналов длительностью :

Тогда энергия каждого сигнала будет равна и

Таким образом, совокупность сигналов ортогональная. Передача сигналов на протяжении добавочных секунд ничего не дает, так как в течение этого времени все сигналы одинаковы. Следовательно, вероятность ошибки для исходной совокупности сигналов равна вероятности ошибки для ортогональной совокупности с энергией , т. е.

Следовательно, из (8.66) и (8.67) для любой совокупности равноудаленных сигналов имеем

В частности, для трансортогональных сигналов

Заметим также, что ошибка, возникающая при кодах с равноудаленными сигналами, может с равной вероятностью случиться в любом искаженном слове. Таким образом, вероятность ошибки на бит связана с вероятностью

ошибки таким же образом, как для ортогональных сигналов (8.14). Тогда графики, приведенные на рис. 8.3 и 8.6, применимы ко всем совокупностям равноудаленных сигналов, но при смещении по оси абсцисс.

Из (8.68) получается также верхняя граница для вероятности ошибки при любой совокупности сигналов. Рассмотрим опять вероятность при заданном значении отношения как функцию переменных и обозначим

Рассмотрим величину

которая соответствует любой точке, расположенной на прямой, соединяющей данную точку и точку при всех Матрица соответствует физически реализуемой совокупности сигналов, так как она представляет линейную комбинацию двух неотрицательно определенных матриц. Введя обозначение на основании теоремы о среднем получим

Но при любом значении у между 0 и 1

так как согласно (8.54) при всех и по определению . Отсюда из (8.68) следует:

Так, например, вероятность ошибки Для биортогональной совокупности сигналов ограничена сверху вероятностью ошибки для ортогональной совокупности сигналов, так как ДЛЯ биортогональных КОДОВ ртах .

Следует заметить, что для совокупностей сигналов с малыми , полученных в § 8.6, требуется число измерений, превышающее половину числа сигналов совокупности, так что отношение возрастает по меньшей мере пропорционально . При ограниченных по полосе частот каналах это расширение полосы часто представляется недопустимым, и в таких случаях приходится применять сигналы с меньшим числом степеней свободы, которым соответствуют большие скалярные произведения. В таких случаях формула (8.70) дает границу получаемого ухудшения качества. Этим заканчивается исследование когерентного приема. В следующем параграфе будет рассмотрено качество некогерентного приема ортогональных сигналов.