8.6. Получение двоичных ортогональных и связанных с ними кодов

Из (8.26) следует, что можно получить совокупность ортогональных сигналов при помощи двоичного кода, все векторы которого попарно согласуются в таком же числе символов, в каком не согласуются. Для k = 1 (М = 2) такой код представляется матрицей

Из кода, представленного матрицей , можно получить код для следующим образом:

где черта означает дополнение. Применяя последовательно этот метод, можно получить код для любого значения k. Так, если имеется ортогональный код , то код

также ортогонален. Рассмотрим два вектора — строки матрицы . Их первые компоненты либо тождественны, либо ортогональны. Если они тождественны, то последние составляющие повсюду рассогласованы и эти два вектора ортогональны. Если первые составляющие ортогональны, то последние составляющие также ортогональны. Таким образом, методом индукции показывается, что построение применимо при любом k или Каждый из М сигналов имеет степеней свободы. Это естественно, так как в -мерном пространстве ортогональных векторов образуют систему координат, и, следовательно, никакой иной вектор не может быть линейно независимым или ортогональным по отношению к ним всем. Следовательно, для того, чтобы получить М ортогональных сигналов, необходимо иметь по меньшей мере М измерений или степеней свободы.

Этот метод получения двоичных ортогональных кодов можно представить в виде следующей схемы:

Каждый кодовый вектор матрицы получится, если следовать по одной совокупности разветвлений от левого узла к одному из правых узлов, причем видно, что при этом получается такой же код, как и вышеприведенном методе построения. Это приводит к простой реализации кодирующего устройства, показанного на рис. 8.2, для этого ортогонального кода.

Рис. 8.7. Блок-схема кодирующего устройства для ортогональных сигналов.

Если первый символ сообщения есть 0, то при первом разветвлении выбирается верхняя ветвь; если он равен 1, то выбирается нижняя ветвь; в других точках разветвлений поступают аналогичным образом.

Эту процедуру можно осуществить, как показано на рис. 8.7. Сначала весь вектор сообщения запоминается с добавлением спереди нуля. Из памяти сообщение подается по одному символу к сумматору по модулю 2, где он прибавляется ко всем полученным до этого символам кода и затем запоминается в памяти обратной связи. Таким образом, если символ сообщения есть 0, то получаются

новых символов кода, которые тождественны символам, уже находящимся в памяти, тогда как если символ сообщения есть 1, то новых кодовых символа являются дополнениями находящихся в памяти. Таким образом получается ортогональный код.

Из (8.27) — (8.29) или из приведенной выше схемы получения кода замечаем что первый символ каждого вектора ортогонального кода равен 0. Предположим, что первый символ отброшен. Тогда число измерений , и, отбросив символ, общий всем векторам, получим число рассогласований, на единицу большее числа согласований. Таким образом, из (8.26) следует, что

Тогда из (8.24) находим

Такой код или множество сигналов называется трансортогональным или регулярным симплексным кодом или множеством сигналов. В последующих параграфах будет показано, что при отсутствии ограничений на полосу частот этот код является оптимальным в том смысле, что он минимизирует вероятность ошибки.

Другой код, легко получаемый из ортогонального кода, называется биортогональным. Он получается путем объединения двух ортогональных кодов, дополнительных друг к другу. Так, биортогональный код для имеет вид

Ясно, что у биортогонального кода все пары векторов ортогональны, за исключением М/2 пар, которые являются

дополнительными, так что соответствующие пары сигналов противоположны. Таким образом, среднее арифметическое недиагональных элементов матрицы равно

Главное преимущество биортогональной совокупности сиг налов состоит в том, что она требует числа измерений равного , так что полоса частот вдвое меньше полосы, требующейся для ортогональных сигналов, и из (8.24 имеем

Другие примеры биортогональных совокупностей сигналов получаются путем объединения сигналов вида (8.1) и противоположных сигналов, а также путем объединения сигналов вида (8.2) и соответствующих им противоположных сигналов.