8.7. Другое выражение для вероятности ошибки

До сих пор рассматривалось только качество ортогональных совокупностей сигналов. Выражения для вероятности ошибок (8.4) и (8.8), вообще говоря, довольно сложны. Теперь иным методом будет получено другое выражение для вероятности ошибки в виде одного М-кратного интеграла, а не суммы таких интегралов. При помощи этого выражения окажется возможным найти верхнюю границу вероятности ошибки для произвольных совокупностей сигналов, а также найти необходимое условие для оптимальной совокупности.

Сначала заметим, что так как М сигналов являются функциями, интегрируемыми с квадратом, то возможно методом ортогонализации Грама — Шмидта построить совокупность М ортонормированных функций , представляющих линейные комбинации

сигналов. Легко показать, что соотношение между совокупностями имеет вид

где

и

Определим проекцию на функцию

Оптимальный приемник, состоящий из М корреляторов, вычисляет М величин

и отбирает наибольшую из них. Эти величины представляют линейные комбинации М случайных величин [см. (8.36)]. Обозначим через вектор в М-мерном эвклидовом пространстве и определим подпространство пространства следующим образом: у находится в если

Таким образом, возможно разделить пространство Ем на М отдельных подпространств совокупность которых составляет все пространство .

Предположим теперь, что передан сигнал ; тогда правильное решение будет выбрано, если что означает [см. (8.37) и (8.38)] попадание вектора у в подпространство . Следовательно, вероятность выбора правильного решения при передаче сигнала равна

Компонента вектора представляет нормальную случайную величину. Воспользовавшись формулами (8.35) и (8.36) и предполагая, что передан сигнал найдем среднее значение:

и ковариации

Таким образом, из (8.39), (8.40) и (8.41) получим условную вероятность правильного решения

и безусловную вероятность правильного решения

Но из (8.35), предполагая, что сигналы имеют одинаковую энергию, имеем

Так как точки области удовлетворяют условно (8.38), то (8.42) можно с учетом (8.43) переписать в виде

Наконец, так как подынтегральное выражение в каждом из слагаемых не зависит от , то сумма всех слагаемых просто равна интегралу по совокупности подпространств , которая представляет все М-мерное эвклидово

пространство. Следовательно,

Теперь, если считать просто функцией у, то интеграл в (8.45) представляет среднее этой функции при нормальной плотности вероятности независимых компонент этого вектора с нулевыми средними и дисперсиями . Следовательно, (8.45) можно представить в виде

где , как отмечалось, являются независимыми нормальными случайными величинами с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями, равными .

Если сделать подстановку

то получим

Величины будучи линейными комбинациями независимых нормальных случайных величин с нулевыми средними, также представляют нормальные случайные величины

с нулевыми средними и ковариациями

что следует из (8.47), (8.35) и (8.3). Если положить

то функция распределения случайной величины X

где

Таким образом, дифференцируема и плотность вероятности максимума равна

Используя (8.50), (8.51) и (8.52), перепишем (8.48) в виде

Это и есть общее выражение вероятности ошибки. Подобно (8.4) и (8.8) оно представляет функцию только отношения и матрицы скалярных произведений. Однако оно проще, чем приведенное выше, являясь одним М-кратным интегралом, а не суммой М таких интегралов, причем все параметры входят в подынтегральное выражение, а не в пределы. В следующем параграфе выражение (8.53) будет использовано для получения некоторых общих свойств и условий оптимальности совокупностей сигналов.