Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
8.7. Другое выражение для вероятности ошибки
До сих пор рассматривалось только качество ортогональных совокупностей сигналов. Выражения для вероятности ошибок (8.4) и (8.8), вообще говоря, довольно сложны. Теперь иным методом будет получено другое выражение для вероятности ошибки в виде одного М-кратного интеграла, а не суммы таких интегралов. При помощи этого выражения окажется возможным найти верхнюю границу вероятности ошибки для произвольных совокупностей сигналов, а также найти необходимое условие для оптимальной совокупности.
Сначала заметим, что так как М сигналов
являются функциями, интегрируемыми с квадратом, то возможно методом ортогонализации Грама — Шмидта построить совокупность М ортонормированных функций
, представляющих линейные комбинации
сигналов. Легко показать, что соотношение между совокупностями
имеет вид
где
и
Определим проекцию
на функцию
Оптимальный приемник, состоящий из М корреляторов, вычисляет М величин
и отбирает наибольшую из них. Эти величины представляют линейные комбинации М случайных величин
[см. (8.36)]. Обозначим через
вектор в М-мерном эвклидовом пространстве
и определим подпространство
пространства
следующим образом: у находится в
если
Таким образом, возможно разделить пространство Ем на М отдельных подпространств
совокупность которых составляет все пространство
.
Предположим теперь, что передан сигнал
; тогда правильное
решение будет выбрано, если
что означает [см. (8.37) и (8.38)] попадание вектора у в подпространство
. Следовательно, вероятность выбора правильного решения при передаче сигнала
равна
Компонента вектора
представляет нормальную случайную величину. Воспользовавшись формулами (8.35) и (8.36) и предполагая, что передан сигнал
найдем среднее значение:
и ковариации
Таким образом, из (8.39), (8.40) и (8.41) получим условную вероятность правильного решения
и безусловную вероятность правильного решения
Но из (8.35), предполагая, что сигналы имеют одинаковую энергию, имеем
Так как точки области
удовлетворяют условно (8.38), то (8.42) можно с учетом (8.43) переписать в виде
Наконец, так как подынтегральное выражение в каждом из слагаемых не зависит от
, то сумма всех слагаемых просто равна интегралу по совокупности подпространств
, которая представляет все М-мерное эвклидово
пространство. Следовательно,
Теперь, если считать
просто функцией у, то интеграл в (8.45) представляет среднее этой функции при нормальной плотности вероятности независимых компонент этого вектора с нулевыми средними и дисперсиями
. Следовательно, (8.45) можно представить в виде
где
, как отмечалось, являются независимыми нормальными случайными величинами с нулевыми средними и одинаковыми дисперсиями, равными
.
Если сделать подстановку
то получим
Величины
будучи линейными комбинациями независимых нормальных случайных величин с нулевыми средними,
также представляют нормальные случайные величины
с нулевыми средними и ковариациями
что следует из (8.47), (8.35) и (8.3). Если положить
то функция распределения случайной величины X
где
Таким образом,
дифференцируема и плотность вероятности максимума равна
Используя (8.50), (8.51) и (8.52), перепишем (8.48) в виде
Это и есть общее выражение вероятности ошибки. Подобно (8.4) и (8.8) оно представляет функцию только отношения
и матрицы скалярных произведений. Однако оно проще, чем приведенное выше, являясь одним М-кратным интегралом, а не суммой М таких интегралов, причем все параметры входят в подынтегральное выражение, а не в пределы. В следующем параграфе выражение (8.53) будет использовано для получения некоторых общих свойств и условий оптимальности совокупностей сигналов.