Приложение А. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УЗКОПОЛОСНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

В § 1.3 утверждалось без доказательства, что если представляет стационарный нормальный случайный процесс со средним значением и энергетическим спектром (рис. А.1)

где пренебрежимо мало для то может быть представлен в виде

где представляют стационарные нормальные случайные процессы с нулевыми средними, энергетические спектры которых пренебрежимо малы для

Рис. А.1. Соотношение между спектрами .

Существует несколько способов доказательства этого утверждения, из которых следующий является, по-видимому

самым непосредственным. Так как процесс представляет стационарный нормальный случайный процесс с нулевым средним с энергетическим спектром то из (1.7) следует, что такой процесс может быть получен как процесс на выходе инвариантного во времени линейного фильтра, на вход которого действует нормальный белый шум с нулевым средним и с единичной (двухсторонней) спектральной плотностью, причем передаточная функция фильтра такова, что квадрат ее модуля на мнимой оси равен , т. е.

Энергетический спектр можно разложить на такие множители, если процесс чисто случайный, и в этом случае должен удовлетворять условию Пейли — Винера

Так как должна быть четной функцией , передаточную функцию на мнимой оси можно представить в виде

где пренебрежимо мала для Тогда из получим

Определим импульсные переходные функции соответствующие передаточным функциям

Таким образом,

Если теперь определить комплексный случайный процесс

то из получим следующее представление исходного нормального процесса:

где нормальные процессы, так как они были получены путем линейного преобразования нормального шума

Для того чтобы связать корреляционную функцию процесса с корреляционными функциями процессов которые обозначим и с взаимной корреляционной функцией заметим что

так как для белого нормального шума с единичной (двухсторонней) спектральной плотностью. Таким образом, для любых

Но так как пренебрежимо мала при то интервалы, в которых не пренебрежимо малы, не перекрываются, так что интеграл можно считать равным нулю для всех значений . Следовательно, для всех , и из (А.10) имеем

Аналогично,

Таким образом, для любых

и, следовательно,

Из (A. 12) и (A. 15) следует, что

Из (А.1) находим

Заметим, наконец, что если — четная функция (т. е. если симметрична относительно ), то из (А.16) следует

так что процессы некоррелированны и, будучи нормальными, статистически независимы.

Заметим, что термин «узкополосный» не очень удачный, так как энергетический спектр процесса не должен обязательно быть ограничен областью частот, близких к Единственное условие, наложенное на энергетический спектр требует, чтобы он был пренебрежимо мал при