8.2. Вероятности ошибок при когерентном приеме

Оптимальный приемник, выбирающий решение на основе критерия максимума апостериорной вероятности и, следовательно, минимизирующий вероятность ошибки, представляет просто обобщение приемного устройства, определенного в § 7.1 для двоичного случая при . Как и при рассмотрении двоичного случая, предположим, что двоичная последовательность сообщения состоит из независимых символов, которые с равной вероятностью могут быть нулями или единицами. Следовательно, сигналы , которые они определяют, все равновероятны. Будет предполагаться также, что все сигналы обладают одинаковой энергией Е. Тогда для когерентного приема при белом шуме необходимо иметь М корреляторов (см. рис. 7.1), сигналы на выходах которых считываются в момент Т, т. е. в конце передачи сигналов, и сравниваются между собой для определения наибольшего.

Качество приема в присутствие белого шума зависит только от отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума и от совокупности различных нормированных скалярных произведений:

Как будет показано ниже, эта величина представляет также коэффициент корреляции случайных величин

на выходах m-го и r-го корреляторов. Из неравенства Буйяковского — Шварца следует, что всегда а если , то сигналы ортогональны.

Вероятность ошибки определяется как линейная комбинация вероятностей ошибок при передаче сигнала . Так как априорная вероятность любого сигнала равна , то

Для того чтобы определить , допустим, что на протяжении данного периода длительностью Т передавался сигнал . Отсчеты на выходах корреляторов представляют нормальные случайные величины, так как они являются функционалами нормального процесса. Среднее значение если передавался сигнал равно

Так как , то среднее значение отсчета на выходе коррелятора, соответствующего передаваемому сигналу равно . Аналогичным образом определяются ковариации случайных величин :

Итак, дисперсия случайной величины равна

а ковариация случайных величин

Нормированная корреляционная матрица равна, следовательно, и совпадает с матрицей нормированных скалярных произведений сигналов кода.

После того как таким образом определены статистические характеристики отсчетов на выходах корреляторов, легко найти вероятность ошибки или ее дополнение до единицы — вероятность правильного решения . Она равна вероятности того, что величина на выходе больше величины всех остальных значений . Тогда

где представляет M-мерную нормальную плотность вероятности с корреляционной матрицей (8.6) и средними значениями (8.5).

Влияние физических параметров Е и и соотношений между сигналами можно сделать более явным при помощи следующих преобразований. Обозначим . Тогда

где представляет нормальную плотность вероятности с той же корреляционной матрицей, но с нулевым вектором средних. Положив , получим

где представляет нормированную нормальную плотность вероятности с корреляционной матрицей и нулевым средним. Используя (8.5) и (8.6), можно вероятность записать в виде

где представляет матрицу, обратную нормированной корреляционной матрице, а — соответствующий ей определитель.

Подынтегральное выражение является функцией только скалярных произведений сигналов, а физические параметры входят лишь в виде отношения в пределы интегрирования. Выражение для вероятности ошибки Рот соответствующее случаю, когда передан сигнал получается из (8.8) путем замены индекса 1 на Наконец, для определения общей вероятности ошибки используется (8.4). Конечно, это выражение применимо только для несингулярных корреляционных матриц. Сингулярные случаи будут рассмотрены особо.