7.6. Произвольные сигналы

Если ничем не ограничивать выбор сигналов , кроме равенства их энергий Е, то при передаче средние значения нормальных процессов определяются формулами (7.56), а дисперсии и ковариации — формулами (7.57) и (7.58). Эти средние значения можно представить в виде вектора-столбца U и матрицы А соответственно

следующим образом:

Легко показать что . Таким образом, вероятность ошибки при известной фазе равна, как и прежде,

где

Однако вследствие того, что рассматриваемые нормальные процессы уже не являются некоррелированными (как это было в случае ортогональных сигналов), выражение (7.63) теперь неприменимо.

Наиболее простой метод рассмотрения в данном случае состоит в выполнении линейного несингулярного преобразования L над U, которое одновременно диагонализировало бы и Г, что дает

Такое преобразование возможно, так как матрица во всех случаях положительно определенная, за исключением предельного

случая противоположных сигналов, который был рассмотрен отдельно в § 7.4. Преобразование имеет вид:

где

так что ковариация матрицы W равна

и

Тогда

причем в силу (7.74) компоненты W некоррелированы, и, следовательно, независимы, а их дисперсии равны единице. Средние значения определяются из (7.68) и (7.73):

Тогда, обозначив через соответственно суммы квадратов двух первых и двух последних компонент W, получим

где

и

Тогда по аналогии с (7.61) — (7.64) имеем

причем можно представить в более удобном виде:

где

При можно геометрически интерпретировать (7.82), как показано на рис. 7.7.

Используя (7.81), можно вычислить вероятность ошибки

На рис. 7.5 и 7.6 представлены результаты численного интегрирования для и значений лежащих между и для тех же значений отношения

как и в рассмотренных выше случаях. На рис. 7.8 показана зависимость вероятности ошибки Рот от а, когда .

Из выражений (7.81), (7.82) и (7.83) следует, что Рот — четная функция Дифференцируя выражение (7.83) по можно показать, что при и при любых значениях остальных параметров. Так как — четная функция , точка представляет экстремум.

Рис. 7.7. Геометрическая интерпретация формулы (7.82), когда при частично когерентном приеме.

Однако доказательство того, что это абсолютный минимум, как подсказывает рис. 7.8 и интуиция, т. е. того, что при всех значениях представляет огромные трудности.

При (некогерёнтные сигналы) (7.81) и (7.82) приводятся к формулам, полученным Хелстромом [4]:

Заметим, что эта функция является возрастающей функцией Конечно, к такому выводу можно было бы прийти при рассмотрении качества некогерентного приемника в § 7.2. При (7.84) приводится (7.66).

На рис. 7.2 показаны вероятности ошибки для оптимальных сигналов при когерентном и некогерентном

приемах, найденные соответственно из (7.19) и (7.66). Видно, что для всех значений Рот, кроме больших, необходимое для получения заданной вероятности ошибки значение отношения при. некогерентном приеме примерно вдвое больше, чем при когерентном приеме.

Рис. 7.8. Вероятность ошибки при частично когерентном приеме

Различие определяется в основном тем обстоятельством, что при когерентном приеме можно применить противоположные сигналы, тогда как при некогерентном приеме наилучшие результаты получаются при ортогональных сигналах. Если в обоих случаях применять ортогональные сигналы, то разница получается небольшой, что видно также из рис. 7.2.