15. Аксиома выбора

Мы упоминали уже несколько раз об аксиоме выбора. Аксиома эта, высказанная Э. Цермело в начале текущего столетия, формулируется так:

Для любого семейства попарно непересекающихся непустых множеств существует по меньшей мере одно множество содержащее по одному и только одному элементу из каждого из множеств семейства

Чтобы лучше понять трудности, связанные с принятием этой аксиомы, рассмотрим один пример. Пусть будут даны три непустые и попарно непересекающиеся множества точек Поскольку множество не пусто, мы можем из него выбрать какой-либо элемент Аналогично можно выбрать элемент из множества и элемент из множества . Множество образованное из элементов будет, очевидно, как раз тем, о котором говорится в аксиоме выбора.

Вопрос кажется настолько простым, что можно было бы лишь поражаться, что он способен вызывать какие-то сомнения, если не говорить о том обстоятельстве, что мы не определили, что означает выбор какого-либо элемента из данного непустого множества. Выбрать какой-то элемент — значит ли это определить этот элемент так, чтобы не было сомнения, что все имеют в виду один и тот же элемент?

Допустим теперь, что вместо трех множеств мы имеем бесконечную последовательность непустых и попарно непересекающихся множеств. Как тогда получить множество содержащее по одному и только одному элементу из каждого из множеств Можно ли в этом случае сказать: выберем элемент из множества затем элемент множества и так далее, а множество образованное из бесконечной последовательности элементов будет тем, о котором говорится в аксиоме выбора? Имеется ли возможность повторения выбора бесконечное число раз? Не потребуется ли для этого бесконечно долгое время? Некоторые математики отвечают на это, что поскольку выбор возможен для каждого отдельного множества то он возможен также одновременно для всех множеств так как выбор, как любая математическая операция, должен рассматриваться как независимый от времени. В отношении какой-либо аксиомы, не противоречащей нашей интуиции и не вступающей в противоречие с другими принятыми уже нами аксиомами, можно занять две позиции: мы можем эту аксиому

принять или отвергнуть. Очевидно, что отказ от данной аксиомы не означает принятия ее отрицания.

Что касается аксиомы выбора, то здесь следует учесть еще следующие обстоятельства.

1. Многие следствия из аксиомы выбора были доказаны без использования этой аксиомы.

2. Из аксиомы выбора выведено множество других следствий, ни одно из которых не привело к противоречию, а К. Гёдель доказал, что аксиома выбора не противоречит другим общепринятым аксиомам теории множеств (если эти последние сами непротиворечивы).

3. При современном состоянии науки аксиома выбора необходима для доказательства большого числа различных теорем теории множеств и анализа и значительно упрощает многие разделы этих наук.

Многие важные следствия аксиомы выбора мы не умеем доказывать без использования этой аксиомы. Вот один из примеров.

Если мы возьмем конечное множество и будем его элементы соединять каким-либо образом в пары, то или удастся все элементы соединить в пары, или же останется один элемент без пары. Первый случай, очевидно, имеет место при четном числе элементов, второй — при нечетном.

Казалось бы, если взять бесконечное множество и объединять его элементы в пары, то будет иметь место один и только один из двух случаев: как бы мы ни объединяли элементы нашего множества в пары, или все элементы удастся объединить в пары, или же всегда будет оставаться один элемент без пары.

Что так может и не быть, нас убеждает следующий пример. Пусть обозначает множество всех натуральных чисел: 1, 2, 3..... Если мы каждое нечетное число объединим в пару с большим его на 1 четным числом, то, очевидно, все элементы нашего множества будут объединены в пары. Однако если мы каждое четное число объединим в пару с большим его на 1 нечетным числом, то, очевидно, одно число, а именно I, останется без пары.

Таким образом, здесь может иметь место любой из рассматриваемых двух случаев, в зависимости от способа объединения элементов множества в пары.

Возникает вопрос: будет ли так для любого бесконечного множества? Как легко понять, для любого счетного множества это имеет место. Но будет ли так для любого несчетного множества? Доказать это без использования аксиомы выбора не удается. Без помощи аксиомы выбора мы не смогли бы доказать даже такое, казалось бы, почти очевидное утверждение, что для любого множества имеет место по меньшей мере одна из двух возможностей: или все его элементы можно соединить в пары, или же останется один элемент без пары. Заметим, что и вывод этого утверждения из аксиомы выбора отнюдь не является простым делом.

В 1914 г. Стефан Мазуркевич доказал с помощью аксиомы выбора, что существует множество точек на плоскости, такое, что любая прямая на этой плоскости пересекает его точное двух точках. Ни одно такое множество мы не можем, однако, конкретно указать. Очевидно, на плоскости не имеется множества точек, которое любая прямая на плоскости пересекала бы в одной и только одной точке. Не может быть таковым множество, состоящее из одной-единственной точки, так как тогда на плоскости имелись бы прямые, не проходящие через эту точку. Если же наше множество, кроме точки содержало бы еще другую точку то прямая, проходящая через имела бы по меньшей мере две разные точки общие с нашим множеством.

В то же время с помощью аксиомы выбора можно доказать, что для любого натурального числа существует на плоскости множество, которое каждая прямая на плоскости пересекает точно в точках.

Мы легко, без ссылки на аксиому выбора, можем указать множество точек на плоскости, которое каждая прямая на этой плоскости пересекает в счетном количестве точек. Таковым является, например, множество, образованное всеми концентрическими окружностями с натуральными радиусами.

Рассмотрим теперь все множества точек на прямой, не симметричные относительно некоторой точки О, выбранной на этой прямой. Разобьем все эти множества на пары, зачисляя в одну пару два множества, симметричные друг другу относительно точки О. Из аксиомы выбора следует, что существует семейство множеств, которому принадлежит по одному и только одному множеству из каждой такой пары. Однако мы не можем определить такое множество. Мы не сможем, следовательно, здесь выбрать по одному множеству из каждой пары наших множеств.

Приведем здесь еще одно интересное применение аксиомы выбора, найденное около сорока лет тому назад польскими математиками. Допустим, что мы имеем дело с множествами точек на прямой, на плоскости или в трехмерном пространстве. Мы знаем из элементарной геометрии, что такое конгруэнтные (т. е. совпадающие при переносе, повороте или симметричном отражении) геометрические фигуры (или вообще произвольные множества точек). Если каждое из двух наших множеств А к В является суммой одного и того же конечного числа попарно непересекающихся множеств, например где конгруэнтно конгруэнтно наконец, конгруэнтно , то говорят, что множества А и В конгруэнтны при конечном разбиении.

В 1924 г. Стефан Банах и Альфред Тарский вывели из аксиомы выбора удивительное следствие, что любые два ограниченных тела, хотя бы и разного объема (например, два куба разной величины), конгруэнтны при конечном разбиении. Позднее было доказано (тоже с помощью аксиомы выбора), что любой шар К является суммой пяти непересекающихся

множеств, из которых после соответствующих переносов и поворотов мы получаем два непересекающихся шара, каждый из которых конгруэнтен шару К.

К сожалению, доказательство этого парадоксального утверждения является так называемым чистым доказательством существования (основанным на аксиоме выбора) и не дает возможности практического получения из одного шара двух шаров такого же, что и он, объема.

Заметим здесь еще, что Банах и Тарский доказали, что для круга подобный парадокс не имеет места. В то же время мы не знаем, конгруэнтен ли круг при конечном разбиении квадрату с тон же площадью. В этом смысле проблема «квадратуры круга» еще не решена.