4. Преобразования сжатия

Конгруэнтность множеств является, как мы уже знаем, изометрическим преобразованием одного из этих множеств в другое, т. е. преобразованием, сохраняющим расстояния.

Взаимно однозначное преобразование множества А в множество В такое, что если — произвольные различные точки множества А, а — соответствующие им точки множества В, то расстояние между точками меньше, чем расстояние между точками называют преобразованием сжатия. В этом случае говорят также, что множество В метрически меньше, чем множество А. Легко заметить, что если К — данный квадрат, а — квадрат меньших размеров, то существует преобразование сжатия квадрата К в квадрат Множество всех точек прямой метрически меньше самого себя. В качестве функции взаимно однозначно преобразующей множество в себя, достаточно взять функцию

Можно доказать, что этот парадокс не имеет места для ограниченных точечных множеств.

Говорят, что множество В меньше множества А при конечном разбиении, если существуют натуральное число и разбиения, для которых выполняются условия 1° и причем при множество метрически меньше множества

Дж. фон Нейман (J. von Neumann) с помощью аксиомы выбора доказал парадоксальное утверждение, что отрезок прямой при конечном разбиении меньше отрезка, имеющего меньшую, чем он, длину. Можно также (с помощью аксиомы выбора) доказать, что круг (внутренняя область вместе с окружностью) при конечном разбиении меньше произвольного данного круга.