19. Плотные упорядоченные множества. Сечения. Щели

Упорядоченное множество называют плотным, если между любыми двумя его элементами имеется по меньшей мере еще один элемент множества Нетрудно заметить, что в этом случае между любыми двумя элементами множества имеется бесконечно много промежуточных элементов этого множества. Например, множества всех рациональных чисел и всех действительных чисел, упорядоченные по величине, являются плотными.

Элемент упорядоченного множества называют его последним элементом, если он не предшествует ни одному элементу множества

Можно доказать, что два плотных упорядоченных счетных множества, не имеющие ни первого, ни последнего элемента, являются подобными.

Сечением упорядоченного множества называют любое разбиение всех элементов этого множества на два класса А и В, непустые и такие, что любой элемент класса А предшествует любому элементу класса В. Такое разбиение обозначают через

Если в данном сечении класс А имеет последний элемент, а класс В в то же время имеет первый элемент, то говорят, что в сечении имеет место скачок (разрыв). Так, например, множество всех целых чисел, упорядоченное по их величине, имеет скачок в любом сечении. Нетрудно понять, что для того, чтобы упорядоченное множество было плотным, необходимо и достаточно, чтобы ни в одном его сечении не было скачка.

Если в сечении класс А не имеет последнего элемента, а класс В не имеет первого элемента, то говорят, что в сечении имеется щель. Так, например, в множестве всех рациональных чисел, отличных от нуля, сечение, в котором к классу А мы отнесем все отрицательные числа, а к классу В — положительные, образует щель. Можно также доказать, что сечение множества всех рациональных положительных чисел (упорядоченных по их величине)

в котором к классу А мы причислим все рациональные положительные числа для которых к классу В — все остальные рациональные положительные числа, образует щель.

Упорядоченное множество, не имеющее ни скачков, ни щелей, называют непрерывным.