28. Борелевские множества

В частности, множества типа где пробегает все открытые множества пространства называют аналитическими множествами пространства Свойства их исследованы достаточно детально. Множества, которые являются аналитическими и дополнения которых также являются

аналитическими, — это не что иное, как борелевские множества (исследовавшиеся Э. Борелем), играющие важную роль в современном математическом анализе. (Впрочем, сам Борель определял эти множества иначе.) Отметим здесь еще, что М. Суслинв 1916 г. первым доказал, что проекция борелевского множества может не быть борелевским множеством, и начал исследование аналитических множеств, определенных первоначально как проекции борелевских множеств.

История рождения аналитических множеств весьма интересна и поучительна.

В 1916 г. Николай Лузин, в то время молодой профессор Московского университета, предложил своему ученику Михаилу Суслину изучить работу А. Лебега об аналитически представимых функциях, опубликованную в 1905 г. в известном французском журнале Journal des Mathematiques. В этой работе Лебег приводит, между прочим, теорему о том, что если аналитически представимая функция обратима, то обратная ей функция тоже является аналитически представимой. Доказательство этой теоремы Лебег основывает на нескольких леммах и в их числе на лемме, согласно которой проекция на прямую общей части бесконечной стягивающейся последовательности множеств, расположенных на плоскости, является общей частью проекций этих множеств. (Бесконечную последовательность множеств называют стягивающейся, если каждое последующее множество этой последовательности, начиная со второго, содержится в предшествующем множестве.) Лебег не привел доказательства этой леммы, считая ее очевидной, и того же мнения придерживались, видимо, многочисленные читатели работы Лебега в течение 10 лет. Так вот, Суслин, продумывая эту лемму, установил, что она неверна. Обозначим через множество всех точек плоскости с координатами где Множество или общая часть всех множеств следовательно и его проекция на ось является пустым множеством. В то же время проекция каждого из множеств следовательно и общая часть этих проекций, является множеством, образованным из одной-единствениой точки (0, 0). Но при очевидно, следовательно, последовательность множеств является стягивающейся, вопреки лемме Лебега.

Мне довелось быть свидетелем того, как Суслин сообщил Лузину свое замечание и вручил ему рукопись своей первой работы. Лузин очень серьезно отнесся к сообщению молодого студента, и подтвердил, что тот действительно нашел ошибку в труде известного ученого. Я также читал рукопись Суслина непосредственно после Лузина и знаю, как Лузин помогал своему ученику и как направлял его работу. Некоторые авторы называют аналитические множества множествами суслинскими; правильнее было бы называть их множествами Суслина—Лузина.

Суслин не остановился на том, что открыл ложность леммы Лебега. Он начал исследовать, справедливы ли выводы, сделанные Лебегом из его леммы. Одним из них была теорема Лебега о том, что проекция на прямую-плоского борелевского множества является борелевским множеством. Для доказательства ложности этой теоремы Суслин построил плоское борелевское множество, проекция которого на прямую не является борелевским множеством. С этой целью Суслин создал целую теорию, названную им теорией А множеств (аналитических). Теория эта была затем упрощена и развита Лузиным, который с ее помощью доказал, что теорема Лебега об обратимости аналитически представимых функций все же справедлива, хотя она и была выведена из ложной леммы.

Случай открытия Суслиным ошибки в лемме Лебега чрезвычайно поучителен с разных точек зрения. Прежде всего он показывает, что и крупные математики иногда выдвигают ошибочные утверждения. Случалось это и с великим Ферма. В данном случае ошибка Лебега заключалась в том, что он считал очевидным положение, которое на самом деле было ложным. Этот вид ошибок встречается очень часто. Кто-то сказал даже, что очевидные утверждения чаще всего ошибочны. Другой интересный факт — это то, что ошибка Лебега оказалась полезной, так как она привела к созданию теории аналитических множеств.

В 1917 г. Лузин начал писать большую работу об -множествах, которая частично была опубликована только в 1926 г. на 95 страницах X тома польского журнала Fundamenta Mathematicae. В 1930 г. в известной серии монографий, выходящей под редакцией Э. Бореля, была издана книга Лузина Lefons sur les ensembles analitiques ei leurs applications1.

Некоторые теоремы об Л-множествах, доказанные Лузиным и мной, были опубликованы в двух наших совместных работах, одна из которых появилась в 1918 г. в Biuletynie Akademii Umiejetnosci в Кракове, другая — в 1923 г. во французском Journal des Mathematiques.