27. Евклидовы пространства

-мерным евклидовым пространством где — данное натуральное число, называют множество всех последовательностей из членов являющихся действительными числами. будет метрическим, если расстояние между его точками определить формулой

(доказательство того, что определенное таким образом расстояние удовлетворяет всем трем аксиомам расстояния, не представляет трудности).

Проекцией точки пространства на пространство называют точку пространства

Проекцией множества содержащегося в пространстве на пространство называют множество проекций на всех точек множества

Дополнением множества по называют множество Исходя из открытых множеств содержащихся в пространстве с достаточно большим числом измерений, получаем последовательно множества.

(где означает проекцию дополнения множества — дополнение проекции дополнения множества и т. д.).

Множества, полученные таким образом из открытых множеств попеременным применением конечного числа операций дополнения и проектирования, называют проективными множествами.

После того, как Лузин (в 1924 г.) ввел понятие проективных множеств, выяснилось, что все рассматривавшиеся прежде множества, даже наиболее сложные, использовавшиеся в качестве примеров различных особенностей, были проективными множествами. Лузин сумел, однако, дать примеры множеств, не являющихся проективными.