29. Открытые и замкнутые множества

Мы говорили выше об открытых множествах данного метрического, пространства М. Их дополнения до пространства М называют замкнутыми множествами этого пространства.

Пусть множество есть множество точек из метрического пространства точку , принадлежащую или не принадлежащую множеству называют предельной точкой (или точкой накопления) множества если любое открытое множество рассматриваемого пространства, содержащее точку

содержит по меньшей мере еще одну, отличную от точку множества Так, например, если метрическим пространством М является прямая, а множество состоит из бесконечной последовательности точек этой прямой, таких, что при расстояние точки от некоторой точки О нашей прямой равно то, как легко видеть, предельной точкой множества будет только точка О. Напротив, если множество на прямой состоит из всех точек, расстояние которых от точки О выражается рациональ числом, то любая точка прямой будет предельной точкой множества

Из определения предельной точки множества немедленно вытекает, что если точка данного метрического пространства М является предельной точкой множества заключенного в этом пространстве, то любое открытое множество, содержащее точку , содержит бесконечное число точек множества Действительно, если бы какое-то открытое множество содержащее точку , не содержало бы ни одной отличной от точки множества то точка не была бы предельной точкой множества Если же открытое множество содержащее точку , содержало бы только конечное, отличное от нуля число точек множества не совпадающих с , то расстояния этих точек от точки образовывали бы некоторую конечную последовательность положительных чисел. Следовательно, существовало бы положительное число меньшее любого из членов последовательности. Множество всех точек рассматриваемого пространства, находящихся от точки на расстоянии, меньшем было бы в этом случае открытым множеством этого пространства, содержащим точку , но не содержащим никакой другой точки множества вопреки условию, что является предельной точкой множества

Докажем теперь, что для того чтобы множество заключенное в метрическом пространстве М, было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы оно содержало все свои предельные точки.

Допустим, что замкнутое множество не содержит какой-нибудь своей предельной точки . Тогда точка принадлежит дополнению множества до пространства М. Но из определения замкнутого множества слецует, что его дополнение является открытым множеством. Точка принадлежит, следовательно, открытому множеству Т, не содержащему ни одной точки множества вопреки предположению, что является предельной точкой множества Мы доказали, таким образом, необходимость нашего условия.

Допустим теперь, что множество заключенное в метрическом пространстве М, содержит все свои предельные точки, и пусть будет дополнением множества до пространства М. Пусть будет какой-либо точкой множества Т. Поскольку точка не принадлежит множеству и, следовательно, всоответствии с принятым относительно множества

условием не является его предельной точкой. Отсюда следует, что существует открытое множество содержащее точку и не содержащее ни одной точки множества Следовательно, будет Следовательно, для любой точки множества Т существует открытое множество, содержащее точку и заключенное в множестве Т. Это доказывает, что множество Т является открытым, и, следовательно, его дополнение является замкнутым множеством. Условие нашей теоремы является, следовательно, достаточным.

Множество точек прямой называют ограниченным, если существует конечный отрезок, содержащий множество

Аналогично, множество точек плоскости называют ограниченным, если существует круг, содержащий (внутри или на окружности) все точки множества

В евклидовых пространствах имеет место следующая теорема Больцано—Вейерштрасса:

Любое бесконечное ограниченное множество имеет по меньшей мере одну предельную пишу (содержащуюся в нем или нет).

Докажем эту теорему для множеств точек на прямой. Пусть — бесконечное ограниченное множество точек прямой. Существует, следовательно, отрезок содержащий множество Разделим отрезок на два равных отрезка. По крайней мере один из них будет содержать бесконечно много точек множества Пусть означает первый из двух наших отрезков, считая слева, который содержит бесконечно много точек множества Аналогично, выделим половину отрезка которая содержит бесконечно много точек множества и т. Мы получаем таким образом бесконечную стягивающуюся последовательность отрезков и, в соответствии с аксиомой Асколи, существует точка , общая всем этим отрезкам. Покажем, что точка является предельной точкой множества Действительно, пусть — какой-нибудь интервал, внутри которого лежит точка , и пусть положительные чцсла — соответственно расстояния точки от а и Из определения отрезков легко выводим, что длина интервала равна , где — длина интервала Для достаточно больших очевидно, будет и откуда следует, что отрезок (содержащий точку ) будет лежать внутри интервала Поскольку, как мы знаем, отрезок содержит бесконечно много точек множества мы доказали, что внутри любого интервала, содержащего точку , имеется бесконечно много точек множества и, тем самым, что точка является предельной точкой множества что и требовалось доказать.

Легко можно доказать, что множество всех предельных точек любого данного множества является замкнутым множеством.