17. Упорядоченные множества

Имеются и другие разделы теории множеств, например теория упорядоченных множеств. Множество называют упорядоченным, если для любых двух различных его элементов установлено правило, по которому один из этих элементов считают предшествующим другому; для обозначения

того, что а является элементом, предшествующим пишут Кроме того, это правило для любых элементов не множества должно удовлетворять следующим двум условиям:

1) если то не имеет места (асимметричность);

2) если то (транзитивность).

Множество всех действительных чисел, например, упорядочено по их величине.

Не каждое множество мы можем упорядочить; мы не знаем, например, как упорядочить множество всех множеств точек данной прямой.

Конечное множество, состоящее из различных элементов, может быть упорядочено столькими способами, сколько есть перестановок из элементов, т. е. способами. Например, множество, состоящее из двух разных элементов а и мы можем упорядочить двумя способами: а, или . Множество, состоящее из трех элементов мы можем упорядочить шестью разными способами: .