26. Метрические пространства

В разных разделах математики рассматриваются различные пространства. Прежде всего, это так называемые евклидовы пространства (прямая, плоскость, трехмерное пространство, вообще многомерные пространства), затем — пространства бесконечно большого числа измерений (точки которых определяются с помощью бесконечного множества координат), пространства, элементами которых являются функции или кривые, и т. Чтобы не изучать каждый из этих видов пространств отдельно, создана теория метрических пространств, т. е. всех пространств, в которых можно определить расстояние между любыми двумя их точками, удовлетворяющее некоторым очень простым и естественным условиям.

С одной стороны, мы получаем таким путем полезное обобщение: теоремы, доказанные для метрических пространств, справедливы для любого частного случая таких пространств, и не нужно, следовательно, доказывать их для каждого случая отдельно. С другой стороны, благодаря простоте условий (так называемых аксиом расстояния) которым удовлетворяет расстояние в метрических пространствах, теория метрических пространств является прекрасным примером применения аксиоматического метода. Все теоремы этой теории можно вывести из трех чрезвычайно простых аксиом.

Метрическим пространством называют такое множество М произвольных элементов, что каждой упорядоченной паре элементов множества М поставлено произвольным способом в соответствие неотрицательное действительное число называемое расстоянием между элементами а и удовлетворяющее следующим трем условиям:

1) тогда и только тогда, когда

2) а) для любых элементов а и множества М (симметричность);

3) для любых элементов множества М (так называемая аксиома треугольника).

Множество точек метрического пространства М, обладающее тем свойством, что для любой точки множества существует положительное число такое, что каждая точка пространства М, расстояние которой от меньше является элементом множества называют открытым множеством этого пространства.