5. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ

Метод Фурье разделения переменных применяют главным образом для цилиндрических полостей произвольного профиля с вертикальной образующей и плоским горизонтальным диом . В этом случае потенциал скоростей ищут в виде

Подставляя это выражение в исходные дифференциальные уравнения и граничные

условия, после разделения переменных получим следующие краевые задачи для функций и

где контур профиля цилиндрической полости; постоянная.

Задача (41) имеет нетривиальные решения лишь для определенных значений (собственных значений), при этом соответствующие собственные функции ортогональны на . Если контур совпадает с одной из координатных линий какой-либо криволинейной изотермической системы координат, то в (41) переменные х и у также разделяются и задача о свободных колебаниях сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение задачи (40) имеет вид

если принять условие нормировки

Методом Фурье получены решения задачи о колебаниях жидкости в сосудах в форме параллелепипеда, кругового цилиндра, цилиндра с кольцевым дном, цилиндра с некоторым числом сплошных и несплошных перегородок и др. [11, 12].

Метод Ритца. Задача о свободных колебаниях жидкости в неподвижном сосуде может быть сведена к вариационной задаче для функционала [12, 13]

Для решения этой задачи используют метод Ритца, который в стандартном виде сводится к следующему: вводят полную ортонормированную систему «координатных» функций и решение задачи ищут в виде отрезка ряда с постоянными коэффициентами

где определяют из уравнений

Нетривиальные решения системы (44) существуют для значений X, удовлетворяющих уравнению частот

Так как матрицы симметричные, то корни уравнения (45) — действительные, при этом Решение уравнения (45) требует применения ЭВМ.

Основная трудность, с которой сталкиваются при практической реализации метода Ритца, состоит в выборе координатных функций. При этом следует иметь в виду следующее:

а) значение X, соответствующее низшей частоте, «мало чувствительно» к вы бору функций

б) можно не требовать, чтобы функции строго удовлетворяли всем граничным условиям; минимизирующая последовательность в этом случае также будет сходиться к точному решению.

Таким образом, систему координатных функций можно выбирать довольно грубо Достаточно только обеспечить полноту этой системы. В качестве функций целесообразно выбирать собственные функции задачи о колебании жидкости в некотором сосуде, охватывающем заданный, но имеющем более простую форму. Например, если жидкость колеблется внутри конического бака, то в качестве координатных функций можно взять собственные функции задачи о колебании жидкости в цилиндрическом сосуде, поперечное сечение которого равно наибольшему из оснований конуса.

Для оценки собственных частот колебаний жидкости используют следующее свойство если два сосуда имеют одинаковую площадь свободной поверхности и один сосуд объемлет другой, то соответствующие собственные частоты будут больше у того сосуда, объем которою больше [12].

Приближенный способ расчета собственных колебаний. Для определения собственных колебаний жидкости в области близкой к области для которой известна система собственных функций и собственных чисел X, целесообразно применять метод теории возмущений Этот метод позволяет для широкого класса полостей получить в явном виде приближенное решение с любой степенью точности.

Принимая в качестве координатных функций функции коэффициенты уравнений (44) представим в виде

Принимая условие нормировки получаем

Так как области малы, то формулы (46) можно преобразовать к виду

где символ Кронекера если если малый параметр.

Система уравнений (44) примет вид

Решение системы (47) разыскиваем в виде рядов

Для корня близкого к X, получим

Примеры, показывающие эффективность изложенного метода, приведены в монографии [12].

Определение потенциалов Стокса — Жуковского. Функции в формуле (26) можно определить теми же методами Фурье, Ритца и методом возмущений. При использовании метода Ритца минимизируют функционалы

Отыскание функции проводится с помощью метода Ритца в стандартном виде так, как показано в и. 5. Заметим, что в отчичие от задачи определения свободных колебаний здесь получится неоднородная система уравнений.